Question

【題目】已知：如圖，一次函數(shù)y=－2x與二次函數(shù)y＝ax2＋2ax＋c的圖像交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與其對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C．

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)，且△ACD的面積等于2.

① 求二次函數(shù)的解析式；

② 在該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸上求一點(diǎn)P（寫(xiě)出其坐標(biāo)），使△PBC與△ACD相似.

Answer 1

【答案】（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）；

（2）①y＝2x2＋4x； ②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1， 10），（－1， ）

【解析】（1）由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程可知x=-1，將x=-1代入y=－2x得：y=2，從而可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，2）；

（2）①根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的坐標(biāo)特點(diǎn)可知D（-1，-2)，從而得到CD=4，然后三角形的面積公式可求得CD邊上的高，故此可知得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)＝a(x+1)2－2過(guò)點(diǎn)A，即可得：a=2，從而得出拋物線的解析式；②利用兩個(gè)三角形相似求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，∴它的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－1．

又∵一次函數(shù)y=－2x與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)C，∴y＝2．

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，2）．

（2）①∵點(diǎn)C與點(diǎn)D 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－1，－2）．

∴CD=4，∵△ACD的面積等于2．

∴點(diǎn)A到CD的距離為1，C點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0）

設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x+1)2－2過(guò)點(diǎn)A，則a＝2,

∴y＝2x2＋4x．

②交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，6）．

當(dāng)△PBD∽△CAD，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1， 10），

當(dāng)△PBD∽△ACD，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1，），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－1， 10），（－1，）.

“點(diǎn)睛”本題主要考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、利用相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.