Question

【題目】如圖所示，矩形A′BC′O′是矩形OABC(邊OA在x軸正半軸上，邊OC在y軸正半軸上)繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的．點(diǎn)O′在x軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，3)．

(1)如果二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)O，O′兩點(diǎn)，且圖象頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為－l，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)在(1)中求出的二次函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，是否存在點(diǎn)P，使得△POM為直角三角形?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△POM的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)求邊C′O′所在直線的解析式．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2－2x(2)1(3)y=

【解析】分析:(1)連接BO,B則B0=B,求出M點(diǎn)坐標(biāo),列出方程組求出未知數(shù)的值,進(jìn)而求出二次函數(shù)的解析式;(2)設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P(x,y),連接OM,PM,OP,過(guò)P作PN⊥x軸,求出P點(diǎn)坐標(biāo)和△POM的面積.(3)已知 (2,0),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1,由相似關(guān)系求其縱坐標(biāo),用待定系數(shù)法求解析式.

本題解析：(1)如圖2－83所示，連接BO，BO′，則BO=BO′．∵BA⊥OO′，∴AO＝AO′．∵B(1，3)，∴O′(2，0)，M(1，－1)，∴解得∴所求二次函數(shù)的解析式為y＝x2－2x．

(2)假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P(x，y)．連接OM，PM，OP，過(guò)P作PN⊥x軸于N，則∠POM＝90°．∵M(jìn)(1，－1)，A(1，0)，AM=OA，∴∠NOA＝45°，∴∠PON=45°，∴ON=NP，即x＝y(tǒng)．∵P(x，y)在二次函數(shù)y=x2－2x的圖象上，∴x＝x2－2x，解得x＝0或x＝3．∵P(x，y)在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，∴x＞1，∴x=3，y=3，即P(3，3)是所求的點(diǎn)．連接MO′，顯然△OMO′為等腰直角三角形，∴點(diǎn)O′(2，0)也是滿足條件的點(diǎn)，∴滿足條件的點(diǎn)是P(2，0)或P(3，3)，∴OP=3，OM=，∴S△POM=OP·OM=3或S△POM＝OM·O′M=1．

(3)設(shè)AB與C′O′的交點(diǎn)為D(1，y)，顯然Rt△DAO′≌Rt△DC′B．在Rt△DAO′中，AO′2＋AD2＝O′D2，即1＋y2＝(3－y)2，解得y=，∴D(1， )．設(shè)邊C′O′所在直線的解析式為y＝kx＋b，則解得∴所求直線的解析式為y=