Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點B，C，與直線AC:y=－x－6交y軸于點A，點M是拋物線的頂點，且橫坐標為－2.

（1）求出拋物線的表達式.

（2）判斷△ACM的形狀并說明理由.

（3）直線CM交y軸于點F，在直線CM上是否存在一點P，使∠CMA=∠PAF，若存在，求出P的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ACM為直角三角形，理由見解析；（3）存在， ，

【解析】解：（1） A（0，－6） C（－6，0）

∴

解得

∴此拋物線的表達式為.

（2）△ACM為直角三角形，理由如下：

M（－2，－8）

∴AC2+AM2=72+22+（8－6）2=80

MC2=42+82=80

∴AC2+AM2=MC2

∴△ACM為直角三角形

（3）假設存在

設直線CM的解析式為y=kx+b過C（－6，0）、M（－2，－8）則

解得

∴y=－2x－12

設P(n,－2n－12)

∴∠CMA=∠MAF+∠AFM ∠PAF=∠MAF+∠PAM

又 ∠APF=∠MPA ∴ △APF～△MPA

∴ 即

∴

∴ 35n2+216n+324=0

∴，

∴ 符合條件的P點有兩個,其坐標分別為 ：

，