【題目】如圖,點(diǎn)A在⊙O上,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),PA切⊙O于點(diǎn)A,連接OP交⊙O于點(diǎn)D,作AB⊥OP于點(diǎn)C,交⊙O于點(diǎn)B,連接PB.
(1)求證:PB是⊙O的切線;
(2)若PC=9,AB=6 , ①求圖中陰影部分的面積;
【答案】
(1)證明:如圖1,連接OB,
∵OP⊥AB,OP經(jīng)過圓心O,
∴AC=BC,
∴OP垂直平分AB,
∴AP=BP,
∵OA=OB,OP=OP,
∴△APO≌△BPO(SSS),
∴∠PAO=∠PBO,
∵PA切⊙O于點(diǎn)A,
∴AP⊥OA,
∴∠PAO=90°,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴OB⊥BP,
又∵點(diǎn)B在⊙O上,
∴PB與⊙O相切于點(diǎn)B;
(2)解:如圖1,
∵OP⊥AB,OP經(jīng)過圓心O,
∴BC= AB=3 ,
∵∠PBO=∠BCO=90°,
∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°,
∴∠PBC=∠BOC,
∴△PBC∽△BOC,
∴
∴OC= = =3,
∴在Rt△OCB中,OB= = =6,tan∠COB= = ,
∴∠COB=60°,
∴S△OPB= ×OP×BC= × =18 ,S扇DOB= =6π,
∴S陰影=S△OPB﹣S扇DOB=18 ﹣6π;
②若點(diǎn)E是⊙O上一點(diǎn),連接AE,BE,當(dāng)AE=6 時(shí),BE= .
3 ﹣3 或3 +3
【解析】②分兩種情況: i)當(dāng)點(diǎn)E在 上時(shí),如圖2,作直徑AF,交⊙O于F,連接EF、EB,過O作OG⊥AE于G,過F作FH⊥EB于H,
∴EG=AG= AE= × =3 ,
∵∠AOB=120°,OA=OB,
∴∠OAB=30°,
∴∠BEF=∠OAB=30°,
Rt△OGE中,由①知:OA=6,
∴OG= = =3 ,
∴AG=OG,
∴△OGA是等腰直角三角形,
∴∠OAE=45°,
∴∠EBF=∠OAE=45°,
∵AF是⊙O的直徑,
∴∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴EF=AE=6 ,
Rt△EHF中,∠BEF=30°,
∴FH= EF=3 ,
∴EH= = =3 ,
Rt△BHF中,∵∠EBF=45°,
∴△BHF是等腰直角三角形,
∴BH=FH=3 ,
∴BE=3 +3 ,
ii)當(dāng)點(diǎn)E在劣弧 上時(shí),如圖3,
作直徑AF,并⊙O于F,連接OB、OE、BF,過B作BH⊥OE于H,
∵AF為⊙O的直徑,
∴∠ABF=90°,
∵∠BAF=30°,
∴∠F=∠BOF=60°,
∵OA=OE=6,AE=6 ,
∴OA2+OE2=AE2 ,
∴∠AOE=90°,
∴∠EOF=90°,
∴∠EOB=30°,
Rt△OHB中,BH= OB=3,
∴OH= =3 ,
∴EH=6﹣3 ,
∴BE= = = =3 ﹣3 ;
綜上所述,BE的長(zhǎng)為3 +3 或3 ﹣3 ;
所以答案是:3 ﹣3 或3 +3 .
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用垂徑定理和扇形面積計(jì)算公式,掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;在圓上,由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形;扇形面積S=π(R2-r2)即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若中學(xué)生體質(zhì)健康綜合評(píng)定成績(jī)?yōu)閤分,滿分為100分.規(guī)定:85≤x≤100為A級(jí),75≤x<85為B級(jí),60≤x<75為C級(jí),x<60為D級(jí).現(xiàn)隨機(jī)抽取某中學(xué)部分學(xué)生的綜合評(píng)定成績(jī),整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共抽取了名學(xué)生;a=%;C級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角為度.
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校共有2000名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)該校D級(jí)學(xué)生有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1的方格紙上有線段AB和點(diǎn)C.
(1)畫線段BC、畫射線AC.
(2)過點(diǎn)C畫直線AB的平行線EF.
(3)過點(diǎn)C畫直線AB的垂線,垂足為點(diǎn)D.
(4)求△ABC的面積是____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,連接對(duì)角線AC,以AC為邊作第二個(gè)菱形,使,連接,再以為邊作第三個(gè)菱形,使;…,按此規(guī)律所作的第六個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為( )
A. 9 B. C. 27 D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,∠CAB的平分線分別交BD、BC于E、F,作BH⊥AF于點(diǎn)H,分別交AC、CD于點(diǎn)G、P,連結(jié)GE、GF.
(1)求證:△OAE≌△OBG.
(2)試問:四邊形BFGE是否為菱形?若是,請(qǐng)證明;若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°,得到□AB′C′D′(點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)C′與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)D′與點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)),點(diǎn)B′恰好落在BC邊上,則∠C=( )
A.155° B.170° C.105° D.145°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B也從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng),3秒后,兩點(diǎn)相距15個(gè)單位長(zhǎng)度.已知點(diǎn)B的速度是點(diǎn)A的速度的4倍(速度單位:?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度/秒).
(1)求出點(diǎn)A、點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的速度,并在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)的位置;
(2)若A、B兩點(diǎn)從(1)中的位置開始,仍以原來的速度同時(shí)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),幾秒時(shí),原點(diǎn)恰好處在點(diǎn)A、點(diǎn)B的正中間?
(3)若A、B兩點(diǎn)從(1)中的位置開始,仍以原來的速度同時(shí)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)時(shí),另一點(diǎn)C同時(shí)從B點(diǎn)位置出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)遇到A點(diǎn)后,立即返回向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),遇到B點(diǎn)后又立即返回向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),如此往返,直到B點(diǎn)追上A點(diǎn)時(shí),C點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)C一直以20單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)C從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng),行駛的路程是多少個(gè)單位長(zhǎng)度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市籃球隊(duì)到市一中選拔一名隊(duì)員.教練對(duì)王亮和李剛兩名同學(xué)進(jìn)行5次3分球投籃測(cè)試,每人每次投10個(gè)球,圖記錄的是這兩名同學(xué)5次投籃所投中的個(gè)數(shù).
(1)請(qǐng)你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),填寫下表;
姓名 | 平均數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
王亮 | 7 | ||
李剛 | 7 | 2.8 |
(2)你認(rèn)為誰的成績(jī)比較穩(wěn)定,為什么?
(3)若你是教練,你打算選誰?簡(jiǎn)要說明理由.
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