Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+9-b²（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)E，其頂點(diǎn)M在第一象限。
（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸上方，且在其對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交該拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DE⊥x軸于點(diǎn)C。
①當(dāng)線段AB、BC的長(zhǎng)都是整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；
②求矩形ABCD的周長(zhǎng)的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；
③當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，它的面積是否也同時(shí)取得最大值？請(qǐng)判斷井說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）由題意代入原點(diǎn)到二次函數(shù)式
則9-b²=0，解得b=±3，
由題意拋物線的對(duì)稱(chēng)軸大于0，，
所以b=3，
所以解析式為y=-x²+3x；
（2）根據(jù)兩個(gè)三角形相似的條件，由于在△ECD中，∠ECD=60°，
若△BCP與△ECD相似，則△BCP中必有一個(gè)角為60°，
下面進(jìn)行分類(lèi)討論：
①當(dāng)P點(diǎn)直線CB的上方時(shí)，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°，
∴△PCB為鈍角三角形，
又∵△ECD為銳角三角形，
∴△ECD與△CPB不相似，
從而知在直線CB上方的拋物線上不存在點(diǎn)P使△CPB與△ECD相似；
②當(dāng)P點(diǎn)在直線CB上時(shí)，點(diǎn)P與C點(diǎn)或B點(diǎn)重合，不能構(gòu)成三角形，
∴在直線CB上不存在滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)；
③當(dāng)P點(diǎn)在直線CB的下方時(shí)，若∠BCP=60°，則P點(diǎn)與E₁點(diǎn)重合，
此時(shí)，∠ECD=∠BCE₁，
而，
∴，
∴△BCE與△ECD不相似，
若∠CBP=60°，則P點(diǎn)與A點(diǎn)重合，
根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性，同理可證△BCA與△CED不相似，
若∠CPB=60°，假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P使△CPB與△ECD相似，
∴EF=sin60°×4=，F(xiàn)D=1，
∴ED=，
∴當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，它的面積能同時(shí)取得最大值。