Question

【題目】直線y= x﹣2與x、y軸分別交于點(diǎn)A、C．拋物線的圖象經(jīng)過(guò)A、C和點(diǎn)B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D，當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出最大距離是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：在直線解析式y(tǒng)= x﹣2中，令x=0，得y=﹣2；令y=0，得x=4，

∴A（4，0），C（0，﹣2）．

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵點(diǎn)A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）在拋物線上，

∴ ，

解得a=- ，b= ，c=﹣2．

∴拋物線的解析式為：y= x2+ x﹣2．

（2）

解：設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y），則y= x2+ x﹣2．

在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，由勾股定理得：AC= ．

如答圖1所示，連接CD、AD．

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥FD交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

則FD=x，DG=4﹣x，OF=AG=y，F(xiàn)C=y+2．

S△ACD=S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG

= （AG+FC）FG﹣ FCFD﹣ DGAG

= （y+y+2）×4﹣ （y+2）x﹣ （4﹣x）y

=2y﹣x+4

將y= x2+ x﹣2代入得：S△ACD=2y﹣x+4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴當(dāng)x=2時(shí)，△ACD的面積最大，最大值為4．

當(dāng)x=2時(shí)，y=1，∴D（2，1）．

∵S△ACD= ACDE，AC= ，

∴當(dāng)△ACD的面積最大時(shí)，高DE最大，

則DE的最大值為： ．

∴當(dāng)D與直線AC的距離DE最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，1），最大距離為 ．

【解析】（1）首先求出點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）AC為定值，當(dāng)DE最大時(shí)，△ACD的面積最大，因此只需要求出△ACD面積的最大值即可．如解答圖所示，作輔助線，利用S△ACD=Sspan>梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG求出S△ACD的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，并進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和DE的最大值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．