Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=10cm，點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿B→A→C運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為C，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿B→C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P，Q出發(fā)t秒時(shí)，△BPQ的面積為ycm2 ， 已知y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2（曲線OM和MN均為拋物線的一部分），給出以下結(jié)論：①AC=6cm；②曲線MN的解析式為y=﹣ t2+ t（4≤t≤7）；③線段PQ的長度的最大值為 ；④若△PQC與△ABC相似，則t= 秒．其中正確的是（ ）

A.①②④
B.②③④
C.①③④
D.①②③

Answer 1

【答案】A
【解析】由圖2可得到t=4時(shí)，y= 48 5 ，

∴AB=2×4=8cm，

∵∠A=90°，BC=10cm，

∴AC=6cm，

故①正確；

②當(dāng)P在AC上時(shí)，如圖3，過P作PD⊥BC于D，

此時(shí)： =7，

∴4≤t≤7，

由題意得：AB+AP=2t，BQ=t，

∴PC=14﹣2t，

sin∠C= ，

∴ = ，

∴PD= ，

∴y=S△BPQ= BQPD= t =﹣ ；

故②正確；

③當(dāng)P與A重合時(shí)，PQ最大，如圖4，此時(shí)t=4，

∴BQ=4，

過Q作GH⊥AB于H，

sin∠ ，

∴ ，

∴QH= ，

同理：BH= ，

∴AH=8﹣ = ，

∴PQ= = = ；

∴線段PQ的長度的最大值為 ；

故③不正確；

④若△PQC與△ABC相似，點(diǎn)P只有在線段AC上，

分兩種情況：

PC=14﹣2t，QC=10﹣t，

i）當(dāng)△CPQ∽△CBA，如圖5，則 ，

∴ ，

解得t=﹣8不合題意．

ii）當(dāng)△PQC∽△BAC時(shí)，如圖5，

∴ ，

∴ ，

t= ；

∴若△PQC與△ABC相似，則t= 秒，

故④正確；

其中正確的有：①②④.

所以答案是：A．