Question

【題目】已知△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖1所示，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是拋物線在第二象限圖象上一動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+8．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接DE，把點(diǎn)A沿直線DE翻折，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求G點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）圖2中，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在BC上時(shí)，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+8經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0），B（6，0），

∴ ，

解得 ，

∴拋物線的解析式是：y=﹣ x2+ x+8

（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，

令x=0代入y=﹣ x2+ x+8，

∴y=8，

∴C（0，8），

∴OC=8，

∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DF∥OC

∴DF是△AOC的中位線，

∴FO=2，DF= OC=4，

∴D（﹣2，4），

在Rt△AOC中，

由勾股定理可知：AC= ，

∴AD= AC=2 ，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于直線DE對(duì)稱，

∴DG=AD=2 ，

由（1）可知：拋物線y=﹣ x2+ x+8的對(duì)稱軸為：x=1，

∴M的坐標(biāo)為（1，4），

∴DM=1﹣（﹣2）=3，

當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，

設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，n），

∴MG=|4﹣n|，

在Rt△GDM中，DG2=DM2+MG2，

32+（4﹣n）2=20，解得n=4± ，

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4+ ）或（1，4﹣ ）

（3）解：當(dāng)點(diǎn)G恰好落在BC上時(shí)，

由對(duì)稱性可知：AD=DG=CD，

∴A、C、G三點(diǎn)在以D為圓心，AD為半徑的圓上，

連接AG，

由于AC是⊙D的直徑，

∴∠AGC=90°，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)G關(guān)于ED對(duì)稱，

∴ED⊥AG，

∴ED∥CG，

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+m，

將點(diǎn)C（0.8）、B（6，0）代入y=kx+m，

∴

∴解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=﹣ x+8，

∴可設(shè)直線ED的直線解析式為：y=﹣ x+d，

將D（﹣2，4）代入y=﹣ x+d，

∴4= +d，

∴d= ，

∴直線ED的解析式為：y=﹣ x+ ，

聯(lián)立

解得：x=3± ，

∵E是拋物線在第二象限圖象上一動(dòng)點(diǎn)，

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

【解析】（1）把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b的方程組，從而可求得a與b的值，從而可求出拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，接下來(lái)，求得C、D、M的坐標(biāo)，從而可求出AD、DM、DG的長(zhǎng)度，由于點(diǎn)G在拋物線上，可設(shè)G（1，n），最后，再依據(jù)勾股定理列方程求解即可；
（3）當(dāng)點(diǎn)G恰好落在BC上時(shí)，由對(duì)稱性可得到AD=DG=CD，則A、C、G三點(diǎn)在以D為圓心，AD為半徑的圓上，連接AG，依據(jù)圓周角定理可得到∠AGC=90°，于是可證明ED∥BC，然后再求出直線BC的解析式，從而可求出ED的解析式，最后，聯(lián)立直線DE的解析式與拋物線的解析式即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo).