Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，DF=DA？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△ADE為直角三角形？請(qǐng)說明理由．

（3）是否存在某一時(shí)刻t，使點(diǎn)F在線段AC的中垂線上，若存在，請(qǐng)求出t值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

（4）請(qǐng)用含有t式子表示△DEF的面積，并判斷是否存在某一時(shí)刻t，使△DEF的面積是△ABC面積的，若存在，請(qǐng)求出t值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）t= 或12，理由見解析；（3） t=10，理由見解析；（4）

【解析】

(1) 由已知條件可得Rt△CDF中∠C=30°，即可知DF=CD=AE=2t，列方程求解即可；

（2）分兩種情況討論即可求解；

（3）假設(shè)存在，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求解即可；

（4）利用兩個(gè)三角形的面積關(guān)系求解即可.

（1）證明：由題意得：AE=2t，CD=4t，

∵DF⊥BC∴∠CFD=90°，

∵∠C=90°-60°=30°，

∴DF=CD=2t，

同理：AB=AC=30cm

若：DF=DA，則：2t=60-4t，

解得： t=10；

(2) 當(dāng)∠AED=90°時(shí)，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE 即60-4t=4t，

解得：t=

當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，

∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°，

∴AD=AE

∴60-4t=t 解得t=12．

（3）連接AF,

若存在，則CF=AF，

∴∠C=∠CAF=30°

∴∠AFB=60°

∴∠FAB=30°

RT△DCF中，有勾股定理得：CF=

同理：BC=

∴FB=AF==

解得：t=10．

（4）

∴

∴

若存在，則

解得