【題目】如圖1,已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E在邊BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F.

(1)圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來證明AE=EF,請(qǐng)敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案,并指出是哪兩個(gè)三角形全等(不要求證明);
(2)如圖2,若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)(不與點(diǎn)B,C重合).
①AE=EF是否總成立?請(qǐng)給出證明;
②在如圖2的直角坐標(biāo)系中,當(dāng)點(diǎn)E滑動(dòng)到某處時(shí),點(diǎn)F恰好落在拋物線y=﹣x2+x+1上,求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】
(1)解:如圖1,取AB的中點(diǎn)G,連接EG.

△AGE與△ECF全等.


(2)解:①若點(diǎn)E在線段BC上滑動(dòng)時(shí)AE=EF總成立.

證明:如圖2,在AB上截取AM=EC.

∵AB=BC,

∴BM=BE,

∴△MBE是等腰直角三角形,

∴∠AME=180°﹣45°=135°,

又∵CF平分正方形的外角,

∴∠ECF=135°,

∴∠AME=∠ECF.

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°,

∴∠BAE=∠CEF,

∴△AME≌△ECF.

∴AE=EF.

②過點(diǎn)F作FH⊥x軸于H,

由①知,F(xiàn)H=BE=CH,

設(shè)BH=a,則FH=a﹣1,

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(a,a﹣1)

∵點(diǎn)F恰好落在拋物線y=﹣x2+x+1上,

∴a﹣1=﹣a2+a+1,

∴a2=2,a=± (負(fù)值不合題意,舍去),

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為


【解析】(1)取AB的中點(diǎn)G,連接EG,再由已知條件利用ASA能得到△AGE與△ECF全等;
(2)①在AB上截取AM=EC,證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF;②過點(diǎn)F作FH⊥x軸于H,根據(jù)FH=BE=CH設(shè)BH=a,則FH=a-1,然后表示出點(diǎn)F的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上得到有關(guān)a的方程求得a值即可求得所求結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖甲,在平面直角坐標(biāo)系中,直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,⊙O的半徑為2 個(gè)單位長度,點(diǎn)P為直線y=﹣x+8上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD,切點(diǎn)分別為C、D,且PC⊥PD.
(1)試說明四邊形OCPD的形狀(要有證明過程);
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)
(3)若直線y=﹣x+8沿x軸向左平移得到一條新的直線y1=﹣x+b,此直線將⊙O的圓周分得兩段弧長之比為1:3,請(qǐng)直接寫出b的值;
(4)若將⊙O沿x軸向右平移(圓心O始終保持在x軸上),試寫出當(dāng)⊙O與直線y=﹣x+8有交點(diǎn)時(shí)圓心O的橫坐標(biāo)m的取值范圍.(直接寫出答案)

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【題目】某校實(shí)施新課程改革以來,學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有了很大提高.王老師為進(jìn)一步了解本班學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作交流的現(xiàn)狀,對(duì)該班部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,把調(diào)查結(jié)果分為四類(A.特別好,B.好,C.一般,D.較差)后,再將調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖).請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:

(1)本次調(diào)查中,王老師一共調(diào)查了名學(xué)生;
(2)將兩幅統(tǒng)計(jì)圖中不完整的部分補(bǔ)充完整;
(3)假定全校各班實(shí)施新課程改革效果一樣,全校共有學(xué)生2 400人,請(qǐng)估計(jì)該校新課程改革效果達(dá)到A類的有多少學(xué)生;
(4)為了共同進(jìn)步,王老師從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中分別選取一名學(xué)生進(jìn)行“兵教兵”互助學(xué)習(xí),請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中一名男生和一名女生的概率.

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【題目】某校要從甲、乙兩個(gè)跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中選一人參加一項(xiàng)比賽,在最近的10次選撥賽中,他們的成績單位:如下:

甲:585,596,610,598,612,597,604,600,613,601

乙:613,618,580,574,618,593,585,590,598,624

分別求甲、乙的平均成績;

分別求甲、乙這十次成績的方差;

這兩名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)成績各有什么特點(diǎn)?歷屆比賽成績表明,成績達(dá)到就很可能奪冠你認(rèn)為應(yīng)選誰參加比賽?

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(1)上述三個(gè)條件中,由哪兩個(gè)條件可以判定△ABC 是等腰三角形?(用序號(hào)寫出所有成立的情形)

(2)請(qǐng)選擇(1)中的一種情形,寫出證明過程.

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