【題目】在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A<∠ABC,D是AC邊上一點(diǎn),且DA=DB,O是AB的中點(diǎn),CE是△BCD的中線.
(1)如圖a,連接OC,請(qǐng)直接寫出∠OCE和∠OAC的數(shù)量關(guān)系: ;
(2)點(diǎn)M是射線EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線ON,使∠MON=∠ADB,ON與射線CA交于點(diǎn)N.
①如圖b,猜想并證明線段OM和線段ON之間的數(shù)量關(guān)系;
②若∠BAC=30°,BC=m,當(dāng)∠AON=15°時(shí),請(qǐng)直接寫出線段ME的長(zhǎng)度(用含m的代數(shù)式表示).
【答案】(1)∠ECO=∠OAC;(2)①OM=ON,理由見解析,②EM的值為m+m或m﹣m
【解析】
(1)結(jié)論:∠ECO=∠OAC.理由直角三角形斜邊中線定理,三角形的中位線定理解決問(wèn)題即可.
(2)①只要證明△COM≌△AON(ASA),即可解決問(wèn)題.
②分兩種情形:如圖3﹣1中,當(dāng)點(diǎn)N在CA的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3﹣2中,當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí),作OH⊥AC于H.分別求解即可解決問(wèn)題.
解:(1)結(jié)論:∠ECO=∠OAC.
理由:如圖1中,連接OE.
∵∠BCD=90°,BE=ED,BO=OA,
∵CE=ED=EB=BD,CO=OA=OB,
∴∠OCA=∠A,
∵BE=ED,BO=OA,
∴OE∥AD,OE=AD,
∴CE=EO.
∴∠EOC=∠OCA=∠ECO,
∴∠ECO=∠OAC.
故答案為:∠OCE=∠OAC.
(2)如圖2中,
∵OC=OA,DA=DB,
∴∠A=∠OCA=∠ABD,
∴∠COA=∠ADB,
∵∠MON=∠ADB,
∴∠AOC=∠MON,
∴∠COM=∠AON,
∵∠ECO=∠OAC,
∴∠MCO=∠NAO,
∵OC=OA,
∴△COM≌△AON(ASA),
∴OM=ON.
②如圖3﹣1中,當(dāng)點(diǎn)N在CA的延長(zhǎng)線上時(shí),
∵∠CAB=30°=∠OAN+∠ANO,∠AON=15°,
∴∠AON=∠ANO=15°,
∴OA=AN=m,
∵△OCM≌△OAN,
∴CM=AN=m,
在Rt△BCD中,∵BC=m,∠CDB=60°,
∴BD=m,
∵BE=ED,
∴CE=BD=m,
∴EM=CM+CE=m+m.
如圖3﹣2中,當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí),作OH⊥AC于H.
∵∠AON=15°,∠CAB=30°,
∴∠ONH=15°+30°=45°,
∴OH=HN=m,
∵AH=m,
∴CM=AN=m﹣m,
∵EC=m,
∴EM=EC﹣CM=m﹣(m﹣m)=m﹣m,
綜上所述,滿足條件的EM的值為m+m或m﹣m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:已知∠A=∠F,∠C=∠D,試說(shuō)明:BD∥CE.
解:∵∠A=∠F(已知)
∴AC∥DF(______)
∴∠D=∠1(______)
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠1=______
∴BD∥CE(______)
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【題目】如圖(圖①為實(shí)景側(cè)視圖,圖②為安裝示意圖),在屋頂?shù)男逼旅嫔习惭b太陽(yáng)能熱水器:先安裝支架AB和CD(均與水平面垂直),再將集熱板安裝在AD上.為使集熱板吸熱率更高,公司規(guī)定:AD與水平線夾角為θ1,且在水平線上的射影AF為1.4 m.現(xiàn)已測(cè)量出屋頂斜面與水平面夾角為θ2,并已知tan θ1=1.082,tan θ2=0.412.如果安裝工人已確定支架AB高為25 cm,求支架CD的高.(結(jié)果精確到1 cm)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)D為直角三角形ABC的斜邊AB上的中點(diǎn),DE⊥AB交AC于E, 連EB、CD,線段CD與BF交于點(diǎn)F.若tanA=,則=_____.如圖2,點(diǎn)D為直角三角形ABC的斜邊AB上的一點(diǎn),DE⊥AB交AC于E, 連EB、CD;線段CD與BF交于點(diǎn)F.若,tanA=,則=____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中,AB=AC.
(1)如圖1,如果∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,則∠EDC=_____度;
(2)如圖2,如果∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,則∠EDC=_______度;
(3)思考:通過(guò)以上兩題,你發(fā)現(xiàn)∠BAD與∠EDC之間有什么關(guān)系?請(qǐng)用式子表示:____________________.
(4)如圖3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述關(guān)系?如有,請(qǐng)你寫出來(lái),并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知直線的解析式是,并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn).一個(gè)半徑為1.5的⊙C,圓心C從點(diǎn)(0,1.5)開始以每秒0.5個(gè)單位的速度沿著軸向下運(yùn)動(dòng),當(dāng)⊙C與直線相切時(shí),則該圓運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為( 。
A. 3秒或6秒 B. 6秒 C. 3秒 D. 6秒或16秒
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(a,0),B(c,c),C(0,c),且滿足,P點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速移動(dòng),Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)沿y軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速移動(dòng).
(1)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo),AO和BC位置關(guān)系是;
(2)當(dāng)P、Q分別是線段AO,OC上時(shí),連接PB,QB,使,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)∠CBQ=30°時(shí),請(qǐng)?zhí)骄俊?/span>OPQ和∠PQB的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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【題目】四張撲克牌(方塊2、黑桃4、黑桃5、梅花5)的牌面如圖l,將撲克牌洗勻后,如圖2背面朝上放置在桌面上.小亮和小明設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則是兩人同時(shí)抽取一張撲克牌,兩張牌面數(shù)字之和為奇數(shù)時(shí),小亮獲勝;否則小明獲勝.請(qǐng)問(wèn)這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎?并說(shuō)明理由.
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