【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)將△BCP沿CP所在的直線翻折,得到,連接,下面有四個(gè)判斷:
①當(dāng)AP=BP時(shí),∥CP;
②當(dāng)AP=BP時(shí),
③當(dāng)CP⊥AB時(shí),;
④長(zhǎng)度的最小值是1.
所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①③④B.①②C.①②④D.②③④
【答案】C
【解析】
①由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及折疊的性質(zhì),易得∠AB′P=∠CPB′,即可得AB′∥CP;②由PA=PB′=PC=PB,可得點(diǎn)A,B′,C,B在以P為圓心,PA長(zhǎng)為半徑的圓上,然后由圓周角定理,求得答案;③當(dāng)CP⊥AB時(shí),易證得△ACP∽△ABC,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得AP的長(zhǎng);④易得當(dāng)B′在線段AC上時(shí),AB′的長(zhǎng)度有最小值,繼而求得答案.
∵在△ABC中,∠ACB=90°,AP=BP,
∴AP=BP=CP,
由折疊的性質(zhì)可得:CP=B′P,∠CPB′=∠BPC=(180°∠APB′),
∴AP=B′P,
∴∠AB′P=′B′AP=(180°∠APB′),
∴∠AB′P=∠CPB′,
∴AB′∥CP,故①正確;
②∵在△ABC中,∠ACB=90°,AP=BP,將△BCP沿CP所在的直線翻折,得到,
∴PA=PB′=PC=PB,
∴點(diǎn)A,B′,C,B在以P為圓心,PA長(zhǎng)為半徑的圓上,
∵∠B′PC與∠B′AC是所對(duì)的圓心角和圓周角,
∴∠B′PC=2∠B′AC,故②正確;
③當(dāng)CP⊥AB時(shí),∠APC=∠ACB,
∵∠PAC=∠CAB,
∴△ACP∽△ABC,
∴,
∵在Rt△ABC中,AC==4,
∴AP==,故③錯(cuò)誤;
④由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知:BC=CB′=3,
∴CB′長(zhǎng)度固定不變,
∵在 AB′C中,AB′>ACB′C,
∴當(dāng)B′在線段AC上時(shí), AB′有最小值,此時(shí),AB′=ACB′C=43=1,故④正確.
故選C.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在矩形ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作直線EF⊥BD,且交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接BE、DF,且BE平分∠ABD.
(1)①求證:四邊形BFDE是菱形;②求∠EBF的度數(shù).
(2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2,G,I分別在BF,BE邊上,且BG=BI,連接GD,H為GD的中點(diǎn),連接FH,并延長(zhǎng)FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IH與FH之間滿足的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時(shí),點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EF⊥DE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某賓館有120間標(biāo)準(zhǔn)房,當(dāng)每間標(biāo)準(zhǔn)房每天價(jià)格為100元時(shí),每天都客滿,市場(chǎng)調(diào)查表明每間標(biāo)準(zhǔn)房每天價(jià)格在100~180元之間(含100元,180元)浮動(dòng)時(shí),每提高5元,日均入住數(shù)減少3間,每間標(biāo)準(zhǔn)房如果有人入住每天各種費(fèi)用40元,如果沒(méi)人入住每天需各種費(fèi)用10元,賓館將每間標(biāo)準(zhǔn)房每天價(jià)格提高到多少元時(shí),客房的日收益額最大?(注:收益額營(yíng)業(yè)收入各種費(fèi)用)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,如圖,拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)的頂點(diǎn)為M (1,9), 經(jīng)過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)A(-3,-7)和B (3, m)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式和直線AB的解析式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得S△DAC=2S△DCM?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)若點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在x軸上,當(dāng)以點(diǎn)A、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),直接寫(xiě)出滿足足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是直線與反比例函數(shù)(為常數(shù))的圖象的交點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作軸的垂線,垂足為,且.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)及的值;
(2)已知點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線,交直線于點(diǎn),交反比例函數(shù)(為常數(shù))的圖象于點(diǎn),交垂線于點(diǎn).若,結(jié)合函數(shù)的圖象,直接寫(xiě)出的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校初二和初三兩個(gè)年級(jí)各有600名同學(xué),為了科普衛(wèi)生防疫知識(shí),學(xué)校組織了一次在線知識(shí)競(jìng)賽,小宇分別從初二、初三兩個(gè)年級(jí)隨機(jī)抽取了40名同學(xué)的成績(jī)(百分制),并對(duì)數(shù)據(jù)(成績(jī))進(jìn)行整理、描述和分析,下面給出了部分信息.
.初二、初三年級(jí)學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)不完整的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組:,,,,):
.初二年級(jí)學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)?cè)?/span>這一組的數(shù)據(jù)如下:
80 80 81 83 83 84 84 85 86 87 88 89 89
.初二、初三學(xué)生知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
初二年級(jí) | 80.8 | 96.9 | |
初三年級(jí) | 80.6 | 86 | 153.3 |
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)補(bǔ)全上面的知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)頻數(shù)分布直方圖;
(2)寫(xiě)出表中的值;
(3)同學(xué)看到上述的信息后,說(shuō)自己的成績(jī)能在本年級(jí)排在前40%,同學(xué)看到同學(xué)的成績(jī)后說(shuō):“很遺憾,你的成績(jī)?cè)谖覀兡昙?jí)進(jìn)不了前50%”.請(qǐng)判斷同學(xué)是________(填“初二”或“初三”)年級(jí)的學(xué)生,你判斷的理由是________.
(4)若成績(jī)?cè)?/span>85分及以上為優(yōu)秀,請(qǐng)估計(jì)初二年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小宇設(shè)計(jì)了一個(gè)隨機(jī)碰撞模擬器:在模擬器中有,,三種型號(hào)的小球,它們隨機(jī)運(yùn)動(dòng),當(dāng)兩個(gè)小球相遇時(shí)會(huì)發(fā)生碰撞(不考慮多個(gè)小球相撞的情況).若相同型號(hào)的兩個(gè)小球發(fā)生碰撞,會(huì)變成一個(gè)型小球;若不同型號(hào)的兩個(gè)小球發(fā)生碰撞,則會(huì)變成另外一種型號(hào)的小球,例如,一個(gè)型小球和一個(gè)型小球發(fā)生碰撞,會(huì)變成一個(gè)型小球.現(xiàn)在模擬器中有型小球12個(gè),型小球9個(gè),型小球10個(gè),如果經(jīng)過(guò)各種兩兩碰撞后,最后只剩一個(gè)小球.以下說(shuō)法:
①最后剩下的小球可能是型小球;
②最后剩下的小球一定是型小球;
③最后剩下的小球一定不是型小球.
其中正確的說(shuō)法是:( )
A.①B.②③C.③D.①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在中,于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作與邊相切于點(diǎn),交于點(diǎn)為的直徑.
(1)求證:;
(2)若,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=2AC,點(diǎn)A(2,0)、B(0,4),點(diǎn)C在第一象限內(nèi),雙曲線y=(x>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.將△ABC沿y軸向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,使點(diǎn)A恰好落在雙曲線上,則m的值為________.
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