Question

【題目】已知：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分別是AC、BC上的點，連DE，且，tanB，如圖1．

（1）如圖2，將△CDE繞C點旋轉(zhuǎn)，連AD、BE交于H，求證：AD⊥BE；

（2）如圖3，當△CDE繞C點旋轉(zhuǎn)過程中，當CH時，求AH﹣BH的值；

（3）若CD=1，當△CDE繞C點旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出AH的最大值是　　　　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）2．

【解析】

（1）設(shè)BE交AC于O，首先證明△ACD∽△BCE，然后有∠DAC=∠EBC，通過等量代換即可得出結(jié)論；

（2）在HB上取一點T，使得HTAH，連接AT，首先通過三角函數(shù)證明∠ATH=∠ABC，然后證明△AHT∽△ACB，進而可證△CAH∽△BAT，則有，即可求解；

（3）因為AH=ABsin∠ABH，所以當∠ABH最大時，AH的值最大，此時CE⊥BE，此時四邊形ECDH是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)和勾股定理即可求解．

（1）如圖2中，設(shè)BE交AC于O．

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠ECB．

∵，

∴，

∴△ACD∽△BCE，

∴∠DAC=∠EBC．

∵∠AOH=∠BOC，

∴∠AHO=∠BCO=90°，

∴AD⊥BE．

（2）如圖2中，在HB上取一點T，使得HTAH，連接AT．

在Rt△AHT中，tan∠ATH，

∵tan∠ABC，

∴∠ATH=∠ABC．

∵∠ATH+∠HAT=90°，∠ABC+∠CAB=90°，

∴∠HAT=∠CAB，

∴∠CAH=∠BAT，

∴△AHT∽△ACB，

∴，

∴，

∴△CAH∽△BAT，

∴，

∵HTAH，

設(shè)AH=m，則HTm，ATm，

∴，

∴BT．

（3）如圖3中，

在Rt△AHB中，∵AH=ABsin∠ABH，∴當∠ABH最大時，AH的值最大，此時CE⊥BE．

∵∠DCE=∠CEH=∠EHD=90°，

∴此時四邊形ECDH是矩形，

∴DH=EC，∠ADC=∠CDH=90°，

由題意CD=1，EC，AC，

∴DH=CE

在Rt△ACD中，AD，

∴AH=AD+DH2，

∴AH的最大值為2．