【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=x+4分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)C為OB的中點(diǎn),點(diǎn)D在第二象限,且四邊形AOCD為矩形.
(1)直接寫出點(diǎn)A,B的坐標(biāo),并求直線AB與CD交點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CD以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā),沿線段AO以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作PH⊥OA,垂足為H,連接NP.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
①若△NPH的面積為1,求t的值;
②點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),問BP+PH+HQ是否有最小值,如果有,求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);如果沒有,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)E(﹣1.5,2);(2)①t=1或2;②有最小值,(﹣2,2).理由見解析
【解析】
試題分析:(1)分別令x與y等于0,即可求出點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo),由四邊形AOCD為矩形,可知:CD∥x軸,進(jìn)而可知:D、C、E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,由點(diǎn)C為OB的中點(diǎn),可求點(diǎn)C的坐標(biāo),然后將點(diǎn)C的縱坐標(biāo)代入直線y=x+4即可求直線AB與CD交點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)①分兩種情況討論,第一種情況:當(dāng)0<t<2時(shí);第二種情況:當(dāng)2<t≤6時(shí);
②由點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo),然后連接PB,CH,可得四邊形PHCB是平行四邊形,進(jìn)而可得:PB=CH,進(jìn)而可將BP+PH+HQ轉(zhuǎn)化為CH+HQ+2,然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知:當(dāng)點(diǎn)C,H,Q在同一直線上時(shí),CH+HQ的值最小,然后求出直線CQ的關(guān)系式,進(jìn)而可求出直線CQ與x軸的交點(diǎn)H的坐標(biāo),從而即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)
解:(1)∵直線y=x+4分別交x軸,y軸于A,B兩點(diǎn),
∴令x=0得:y=4,
令y=0得:x=﹣3,
∴A(﹣3,0),B(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∵點(diǎn)C為OB的中點(diǎn),
∴OC=2,
∴C(0,2),
∵四邊形AOCD為矩形,
∴OA=CD=3,OC=AD=2,CD∥OA(x軸),
∴D、C、E三點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為2,將y=2代入直線y=x+4得:x=﹣1.5,
∴E(﹣1.5,2);
(2)①分兩種情況討論:
第一種情況當(dāng)0<t<1時(shí),如圖1,
根據(jù)題意可知:經(jīng)過t秒,CP=t,AN=t,HO=CP=t,PH=OC=2,
∴NH=2t﹣3,
∵S△NPH=PHNH,且△NPH的面積為1,
∴×2×(2t﹣3)=1,
解得:t=2;
第二種情況:當(dāng)1<t≤3時(shí),如圖2,
根據(jù)題意可知:經(jīng)過t秒,CP=t,AN=t,HO=CP=t,PH=OC=2,
∴AH=3﹣t,
∴HN=AN﹣AH=1.5t﹣2,
∵S△NPH=PHNH,且△NPH的面積為1,
∴×2×(1.5t﹣2)=1,
解得:t=2;
∴當(dāng)t=1或2時(shí),存在△NPH的面積為1;
②BP+PH+HQ有最小值,
連接PB,CH,HQ,則四邊形PHCB是平行四邊形,如圖3,
∵四邊形PHCB是平行四邊形,
∴PB=CH,
∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2,
∵BP+PH+HQ有最小值,即CH+HQ+2有最小值,
∴只需CH+HQ最小即可,
∵兩點(diǎn)之間線段最短,
∴當(dāng)點(diǎn)C,H,Q在同一直線上時(shí),CH+HQ的值最小,
過點(diǎn)Q作QM⊥y軸,垂足為M,
∵點(diǎn)Q是點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn),
∴OA是△BQM的中位線,
∴QM=2OA=6,OM=OB=4,
∴Q(﹣6,﹣4),
設(shè)直線CQ的關(guān)系式為:y=kx+b,
將C(0,2)和Q(﹣6,﹣4)分別代入上式得:
,
解得:,
∴直線CQ的關(guān)系式為:y=x+2,
令y=0得:x=﹣2,
∴H(﹣2,0),
∵PH∥y軸,
∴P(﹣2,2).
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【題目】如圖,正方形AOCB的邊長為4,反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)E(3,4).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)反比例函數(shù)的圖象與線段BC交于點(diǎn)D,直線過點(diǎn)D,與線段AB相交于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo);
(3)連接OF,OE,探究∠AOF與∠EOC的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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【題目】在矩形ABCD中,AB=3厘米,AD=4厘米,點(diǎn)P以每秒厘米的速度在BC上從B往C運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q以每秒1厘米的速度在CA上從C往A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)PQ平行于AB時(shí),求t的值;
(2)是否存在某一時(shí)刻t,使點(diǎn)P、Q、D三點(diǎn)在同一直線上?若存在,求出t;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)△PQC為等腰三角形時(shí),求t的值.
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