Question

【題目】已知拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，有最小值；③方程有兩個(gè)不等實(shí)根；④若連接這兩個(gè)交點(diǎn)與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，恰好是一個(gè)等腰直角三角形，則；其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據(jù)“拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”即可判斷①③；根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1即可判斷②；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，用c表達(dá)出兩個(gè)交點(diǎn)，代入拋物線(xiàn)解析式計(jì)算即可判斷④．

解：∵拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確，

∴，解得：，故①正確；

∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，

∴當(dāng)x=1時(shí)，為最小值，故②正確；

若連接這兩個(gè)交點(diǎn)與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，恰好是一個(gè)等腰直角三角形，

則頂點(diǎn)（1，c-2）到直線(xiàn)y=2的距離等于兩交點(diǎn)距離的一半，

∵頂點(diǎn)（1，c-2）到直線(xiàn)y=2的距離為2-（c-2）=4-c，

∴兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1-（4-c）=c-3與1+（4-c）=5-c

∴兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（c-3,2）與（5-c,2），

將（c-3,2）代入中得：

解得：或

∵，

∴，故④錯(cuò)誤，

∴正確的有①②③，

故選：B．