Question

在平面直角坐標系中（單位長度：1cm），A、B兩點的坐標分別為（-4，0），（2，0），點P從點A開始以2cm/s的速度沿折線AOy運動，同時點Q從點B開始以1cm/s的速度沿折線BOy運動．
（1）在運動開始后的每一時刻一定存在以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形嗎？如果存在，那么以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形相似嗎？以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形會同時成為等腰直角三角形嗎？請分別說明理由．
（2）試判斷t=(2+4

2

)s時，以點A為圓心，AP為半徑的圓與以點B為圓心、BQ半徑的圓的位置關系；除此之外⊙A與⊙B還有其他位置關系嗎？如果有，請求出t的取值范圍．
（3）請你選定某一時刻，求出經過三點A、B、P的拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）①當P、Q在y軸運動時，才能夠成△AOP和△BOQ，因此當t≤2時，構不成三角形．當t＞2時，可構成以點A、O、P為頂點的三角形和以點B、O、Q為頂點的三角形．
兩三角形相似，這兩個三角形中，已知了一組直角，而通過計算不難的這兩個直角三角形的直角邊也對應成比例，因此兩三角形相似．
②由于兩三角形相似，因此兩者一定會同時成為等腰直角三角形，要使兩三角形成為等腰直角三角形，以三角形OAP為例：OA=OP=4，因此t=4．即可當t=4s時，兩三角形同時成為等腰直角三角形．
（2）①可計算出當t=2+4

2

時AP，BQ的長即兩圓的半徑長，然后比較兩圓的半徑和圓心距即AB的距離即可判斷出兩圓的位置關系．
②同①可根據兩圓的半徑長即AP、BQ的長和圓心距AB的長來求出不同的圓與圓的位置關系時，t的取值范圍．

解答：解：（1）①不一定．例如：當t≤2s時，點A、O、P與點B、O、Q都不能構成三角形．
②當t＞2s時，即當點P、Q在y軸的正半軸上時，△AOP∽△BOQ．
這是因為：

AO

BO

=

4

2

=2，

OP

OQ

=

2t-OA

t-OB

=

2t-4

t-2

=2，∠AOP=∠BOQ=90度．
③會成為等腰直角三角形．
這是因為：當OA=OQ=4時，OA+OQ=8，即當t=4s時，△AOP為等腰直角三角形．
同理可得，當t=4s時，△BOQ為等腰直角三角形．
（2）當t=（2+4

2

）s時，OP=2（2+4

2

）-4=8

2

cm，
∴AP=

42+(8 2 )2

=12（cm），
同理可得BQ=6cm，
∴AB=AP-BQ，
∴此時⊙A與⊙B內切．
②有．當外離時，0＜t＜2；
當外切時，t=2；
當相交時，2＜t＜2+4

2

；
當內含時，t＞2．
（3）當t=3s時，OP=2×3-4=2（cm），此時點P的坐標為（0，2），
設經過點A、B、P的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則

0=16a-4b+c 0=4a+2b+c 2=c

解得

a=- 1 4 b=- 1 2 c=2

故所求解析式為y=-

1

4

x²-

1

2

x+2．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定、圓與圓的位置關系、二次函數解析式的確定等知識．