【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,邊AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接BE.
(1)若∠C=30°,求證:BE是△DEC外接圓的切線;
(2)若BE= ,BD=1,求△DEC外接圓的直徑.

【答案】
(1)證明:∵DE垂直平分AC,

∴∠DEC=90°,AE=CE,

∴DC為△DEC外接圓的直徑,

取DC的中點(diǎn)O,連結(jié)OE,如圖,

∵∠ABC=90°,

∴BE為Rt△ABC斜邊上的中線,

∴EB=EC,

∵∠C=30°,

∴∠EBC=30°,∠EOD=2∠C=60°,

∴∠BEO=90°,

∴OE⊥BE,

而OE為⊙O的半徑,

∴BE是△DEC外接圓的切線


(2)解:∵BE為Rt△ABC斜邊上的中線,

∴AE=EC=BE= ,

∴AC=2 ,

∵∠ECD=∠BCA,

∴Rt△CED∽Rt△CBA,

而CB=CD+BD=CD+1,

=

解得CD=2或CD=﹣3(舍去),

∴△DEC外接圓的直徑為2


【解析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)由DE垂直平分AC得∠DEC=90°,AE=CE,利用圓周角定理得到DC為△DEC外接圓的直徑;取DC的中點(diǎn)O,連結(jié)OE,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得EB=EC,得∠C=∠EBC=30°,則∠EOD=2∠C=60°,可計算出∠BEO=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;(2)由BE為Rt△ABC斜邊上的中線得到AE=EC=BE= ,易證得Rt△CED∽Rt△CBA,則 ,然后利用相似比可計算出△DEC外接圓的直徑CD.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題.

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(1)分別寫出點(diǎn)A經(jīng)1次,2次斜平移后得到的點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)如圖,點(diǎn)M是直線l上的一點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)的點(diǎn)B,點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱軸為點(diǎn)C.
①若A、B、C三點(diǎn)不在同一條直線上,判斷△ABC是否是直角三角形?請說明理由.
②若點(diǎn)B由點(diǎn)A經(jīng)n次斜平移后得到,且點(diǎn)C的坐標(biāo)為(7,6),求出點(diǎn)B的坐標(biāo)及n的值.

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每月用氣量

單價(元/m3

不超出75m3的部分

2.5

超出75m3不超出125m3的部分

a

超出125m3的部分

a+0.25


(1)若甲用戶3月份的用氣量為60m3 , 則應(yīng)繳費(fèi)元;
(2)若調(diào)價后每月支出的燃?xì)赓M(fèi)為y(元),每月的用氣量為x(m3),y與x之間的關(guān)系如圖所示,求a的值及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(2)的條件下,若乙用戶2、3月份共用氣175m3(3月份用氣量低于2月份用氣量),共繳費(fèi)455元,乙用戶2、3月份的用氣量各是多少?

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根據(jù)以上信息,解答下列問題:
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(2)在扇形統(tǒng)計圖中,m= , n= , 表示區(qū)域C的圓心角為度;
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(1)以①②作為條件構(gòu)成的命題是真命題嗎?若是,請證明;若不是,請舉出反例;
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