【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax2+bx+ca≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C0,3),且拋物線的頂點坐標(biāo)為(1,4).

1)求拋物線的解析式;

2)如圖2,點D是第一象限拋物線上的一點,ADy軸于點E,設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,設(shè)CDE的面積為S,求Sm的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出自變量的取值范圍);

3)在(2)的條件下,連接AC,是否存在這樣的點D,使得∠DAB2ACO,若存在,求點D的坐標(biāo)及相應(yīng)的S的值,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的表達式為:y=x2+2x+3(2)S=m2;(3)存在,點D的坐標(biāo)為(,),相應(yīng)的S的值為

【解析】

(1)設(shè)拋物線的表達式為:()2+4,將C的坐標(biāo)代入,即可求解;

(2)S=SCED =CExD=m2;

(3)求出sinACM==sinDAB,則tanDAB=,得到直線AE的表達式,即可求解.

(1)設(shè)拋物線的表達式為:()2()2+4,

將點C的坐標(biāo)代入得:()2+4=3,

解得:,

∴拋物線的表達式為:()2+4①;

(2)D的橫坐標(biāo)為m,則點D的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),

設(shè)直線AD的表達式為:

,解得

∴直線AD的表達式為:,

∴點E的坐標(biāo)為(,),則

S=SCED =CExD=mm=m2;

(3)存在,理由:

,則()2+4=0

解得:,

∴點A的坐標(biāo)為(,),點B的坐標(biāo)為(,)

OB上截取OM=OA=1,故點M(1,0)

則∠MCO=ACO,

∵∠DAB=2ACO

∴∠ACM=DAB,

在△ACM中,設(shè)CM邊上的高為h,

AC=MC==

SAMC=,即2×3=h

解得:h=,

在△ACM中,sinACM====sinDAB,

tanDAB=,

RtAOE中,OA=1tanDAB=,

OE=,故點E(0,),

設(shè)直線AE的表達式為:,

,解得:,

∴直線AE的表達式為:y=x+②,

聯(lián)立①②并解得:=或﹣1(舍去﹣1)

∴點D的坐標(biāo)為(,)

(2)知,S=m2 ==

∴點D的坐標(biāo)為(,),相應(yīng)的S的值為

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x(天)

……

5

7

……

p(元/件)

……

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264

……

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