【題目】如圖,△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形,點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)沿B→A方向在線段BA上以a cm/s速度運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),點(diǎn)E從線段BC的某個(gè)端點(diǎn)出發(fā),以b cm/s速度在線段BC上運(yùn)動(dòng),當(dāng)D到達(dá)A點(diǎn)后,D、E運(yùn)動(dòng)停止,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)
(1)如圖1,若a=b=1,點(diǎn)E從C出發(fā)沿C→B方向運(yùn)動(dòng),連AE、CD,AE、CD交于F,連BF.當(dāng)0<t<6時(shí):
①求∠AFC的度數(shù);
②求 的值;
(2)如圖2,若a=1,b=2,點(diǎn)E從B點(diǎn)出發(fā)沿B→C方向運(yùn)動(dòng),E點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后再沿C→B方向運(yùn)動(dòng).當(dāng)t≥3時(shí),連DE,以DE為邊作等邊△DEM,使M、B在DE兩側(cè),求M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng).
【答案】
(1)解:如圖1,
由題可得BD=CE=t.
∵△ABC是等邊三角形,
∴BC=AC,∠B=∠ECA=60°.
在△BDC和△CEA中,
,
∴△BDC≌△CEA,
∴∠BCD=∠CAE,
∴∠EFC=∠CAE+∠ACF=∠BCD+∠ACF=∠ACB=60°,
∴∠AFC=120°;
②延長(zhǎng)FD到G,使得FG=FA,連接GA、GB,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥FG于H,如圖2,
∵∠AFG=180°﹣120°=60°,F(xiàn)G=FA,
∴△FAG是等邊三角形,
∴AG=AF=FG,∠AGF=∠GAF=60°.
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠GAF=∠BAC,
∴∠GAB=∠FAC.
在△AGB和△AFC中,
,
∴△AGB≌△AFC,
∴GB=FC,∠AGB=∠AFC=120°,
∴∠BGF=60°.
設(shè)AF=x,F(xiàn)C=y,
則有FG=AF=x,BG=CF=y.
在Rt△BHG中,
BH=BGsin∠BGH=BGsin60°= y,
GH=BGcos∠BGH=BGcos60°= y,
∴FH=FG﹣GH=x﹣ y.
在Rt△BHF中,BF2=BH2+FH2
=( y)2+(x﹣ y)2=x2﹣xy+y2.
∴ = =1;
(2)解:過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于N,連接MC,如圖3,
由題可得:∠BEN=30°,BD=1×t=t,CE=2(t﹣3)=2t﹣6.
∴BE=6﹣(2t﹣6)=12﹣2t,BN=BEcosB= BE=6﹣t,
∴DN=t﹣(6﹣t)=2t﹣6,
∴DN=EC.
∵△DEM是等邊三角形,
∴DE=EM,∠DEM=60°.
∵∠NDE+∠NED=90°,∠NED+∠MEC=180°﹣30°﹣60°=90°,
∴∠NDE=∠MEC.
在△DNE和△ECM中,
,
∴△DNE≌△ECM,
∴∠DNE=∠ECM=90°,
∴M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的一條線段.
當(dāng)t=3時(shí),E在點(diǎn)B,D在AB的中點(diǎn),
此時(shí)CM=EN=CD=BCsinB=6× =3 ;
當(dāng)t=6時(shí),E在點(diǎn)C,D在點(diǎn)A,
此時(shí)點(diǎn)M在點(diǎn)C.
∴當(dāng)3≤t≤6時(shí),M點(diǎn)所經(jīng)歷的路徑長(zhǎng)為3 .
【解析】(1)①如圖1,由題可得BD=CE=t,易證△BDC≌△CEA,則有∠BCD=∠CAE,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠EFC=60°,即可得到∠AFC=120°;②延長(zhǎng)FD到G,使得FG=FA,連接GA、GB,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥FG于H,如圖2,易證△FAG是等邊三角形,結(jié)合△ABC是等邊三角形可證到△AGB≌△AFC,則有GB=FC,∠AGB=∠AFC=120°,從而可得∠BGF=60°.設(shè)AF=x,F(xiàn)C=y,則有FG=AF=x,BG=CF=y.在Rt△BHG中運(yùn)用三角函數(shù)可得BH= y,GH= y,從而有FH=x﹣ y.在Rt△BHF中根據(jù)勾股定理可得BF2=x2﹣xy+y2 , 代入所求代數(shù)式就可解決問(wèn)題;(2)過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于N,連接MC,如圖3,由題可得∠BEN=30°,BD=t,CE=2t﹣6,從而有BE=12﹣2t,BN=6﹣t,進(jìn)而可得DN=EC.由△DEM是等邊三角形可得DE=EM,∠DEM=60°,從而可得∠NDE=∠MEC,進(jìn)而可證到△DNE≌△ECM,則有∠DNE=∠ECM=90°,故M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為過(guò)點(diǎn)C垂直于BC的一條線段.然后只需確定點(diǎn)M的始點(diǎn)和終點(diǎn)位置,就可解決問(wèn)題.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°,以及對(duì)勾股定理的概念的理解,了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
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【題目】如圖,在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題:(用直尺畫(huà)圖,保留痕跡)
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A.a確定拋物線的形狀與開(kāi)口方向
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C.若將拋物線C沿x軸平移,則a的值不變
D.若將拋物線C沿直線l:y=x+2平移,則a、b、c的值全變
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