Question

【題目】（12分）如圖①，∠QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠QPN=α，將∠QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合）．

（1）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)α=60°時(shí)，（1）中的結(jié)論變?yōu)镈E+DF=AD，請(qǐng)給出證明；

（3）在（2）的條件下，若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點(diǎn)E，其他條件不變，探究在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論，不用加以證明．

Answer 1

【答案】（1）DE+DF=AD；（2）詳見(jiàn)解析；（3）①當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時(shí)，DE+DF=AD，②當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE+DF逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．

【解析】

試題（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證△APE≌△DPF，即可得AE=DF，所以DE+DF=AD；（2）取AD的中點(diǎn)M，連接PM，根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可得△MDP是等邊三角形，利用SAS易證△MPE≌△FPD，再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD；（3）①當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時(shí)，DE+DF=AD，②當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE+DF逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)DE+DF最大，即AD＜DE+DF≤AD．

試題解析：解：（1）正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)P，

∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，

∴∠APE=∠DPF，

在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF（ASA），

∴AE=DF，

∴DE+DF=AD；

（2）如圖②，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，

∵四邊形ABCD為∠ADC=120°的菱形，

∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，

∴△MDP是等邊三角形，

∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，

∵∠PAM=30°，

∴∠MPD=60°，

∵∠QPN=60°，

∴∠MPE=∠FPD，

在△MPE和△FPD中，

∴△MPE≌△FPD（ASA）

∴ME=DF，

∴DE+DF=AD；

（3）如圖，

在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，

①當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時(shí)，DE+DF=AD，

②當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，DE+DF逐漸增大，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)DE+DF最大，

即AD＜DE+DF≤AD．