Question

【題目】如圖，∠B=90°，O是AB上的一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D．若AD=2 ， 且AB、AE的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣8x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求⊙O的半徑．
（2）求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】解：（1）連接OD、DE、DB，設(shè)⊙O半徑為r，
∵CD為⊙O切線，∴∠ODA=90°，
∵BE為⊙O直徑，∴∠BDE=90°，
∴∠ADE=∠BDO，
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，
∵∠DAE=∠BAD，
∴△ADE∽△ABD，
∴，
∴ABAE=，
∵AB、AE的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2﹣8x+k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴k=12，
解方程x2﹣8x+12=0得：兩個(gè)實(shí)數(shù)根為：2和6，
∴設(shè)半徑的長(zhǎng)為r，
可得半徑r=×（6﹣2）=2；
（2）∵∠B=90°，
∴CB為⊙O切線，
∴CD=CB，
∴CB2+AB2=AC2 ，
∴CD2+62=（2+CD）2 ，
∴CD=2．
答：CD的長(zhǎng)度為2．

【解析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出ABAE的長(zhǎng)=12，進(jìn)而得出k的值，設(shè)半徑的長(zhǎng)為r，再代入切線長(zhǎng)定理解答即可；
（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理，即可得出CD=CB，由勾股定理得CD的長(zhǎng)即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．