Question

（2013年浙江義烏4分）如圖，直線l₁⊥x軸于點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B是直線l₁上的動(dòng)點(diǎn)．直線l₂：y=x+1交l₁于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線l₃垂直于l₂，垂足為D，過點(diǎn)O，B的直線l₄交l ₂于點(diǎn)E．當(dāng)直線l₁，l₂，l₃能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S₁，當(dāng)直線l₂，l₃，l₄能圍成三角形時(shí)，設(shè)該三角形面積為S₂．

（1）若點(diǎn)B在線段AC上，且S₁=S₂，則B點(diǎn)坐標(biāo)為     ；
（2）若點(diǎn)B在直線l₁上，且S₂=S₁，則∠BOA的度數(shù)為     ．

Answer 1

（1）（2，0）；（2）15°或75°。

（1）設(shè)B的坐標(biāo)是（2，m），則△BCD是等腰直角三角形。
∵，∴。
∴。
設(shè)直線l₄的解析式是y=kx，則2k=m，解得：。
∴直線l₄的解析式是。
根據(jù)題意得：，解得：。
∴E的坐標(biāo)是（，）。
∴。
∴。
當(dāng)S₁=S₂時(shí)，。
解得：m=0，m=4（不在線段AC上，舍去），m=3（l₂和l₄重合，舍去）。
∴B的坐標(biāo)是（2，0）。
（2）分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)B在線段AC上時(shí)（如圖1），

由S₂=S ₁得：。
解得：或（不在線段AC上，舍去），或m=3（l₂和l₄重合，舍去）。
∴AB=。
在OA上取點(diǎn)F，使OF=BF，連接BF，設(shè)OF=BF=x，
則AF=2－x，根據(jù)勾股定理，得，解得。
∴sin∠BFA=�！唷螧FA=30°�！唷螧OA=15°。
②當(dāng)點(diǎn)B在AC延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），

此時(shí)，,
由S₂=S ₁得：。
解得：或（不在AC延長(zhǎng)線上，舍去），或m=3（l₂和l₄重合，舍去）。
∴AB=。
在AB上取點(diǎn)G，使BG=OG，連接OG，設(shè)BG=OG=x，
則AG=，根據(jù)勾股定理，得，解得
∴sin∠OGA=�！唷螼GA =30°�！唷螼BA=15°�！唷螧OA=75°。
③當(dāng)點(diǎn)B在CA延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3），

此時(shí)，,
由S₂=S ₁得：。
解得： m=3（l₂和l₄重合，舍去）。
∴此時(shí)滿足條件的點(diǎn)B不存在。
綜上所述，∠BOA的度數(shù)為15°或75°。