Question

如圖，等邊△ABC，點D、E分別在BC、AC上，且BD=CE，AD與BE相交于點F．
（1）試求出∠AFE的度數(shù)．
（2）△AEF與△ABE相似嗎？說說你的理由．
（3）BD²=AD•DF嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，即可證明△ABD≌△BEC，即可以求得∠AFE=∠1+∠3=60°；
（2）根據(jù)∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，即可證明△AEF∽△ABE；
（3）易證△ABD∽△BFD，即可得

BD

AD

=

FD

BD

化簡得BD²=AD•DF．

解答：解：（1）△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
在△ABD和△BCE中

AB=BC ∠ABD=∠C BD=EC

，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1=∠2，
又∵∠AFE=∠2+∠3，
∴∠AFE=∠1+∠3=60°；

（2）在△AEF和△ABE中
∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠BAE=60°，
∴△AEF∽△BEA；

（3）在△ABD和△BFD中，
∠BDF=∠ADB，∠1=∠2，
∴△ABD∽△BFD，
∴

BD

AD

=

FD

BD

，
∴BD²=AD•DF．

點評：本題考查了相似三角形的證明和相似三角形對應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形各邊長相等，各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中求證△ABD∽△BFD是解題的關(guān)鍵．