Question

拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，頂點(diǎn)為.

【小題1】（1）寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸及、兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）
【小題2】（2）連接并以為直徑作⊙，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷⊙是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并說(shuō)明理由；
【小題3】（3）在（2）題的條件下，點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)作直線垂直于對(duì)稱軸，垂足為. 那么是否存在這樣的點(diǎn)，使△與以、、為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【小題1】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥軸，垂足為H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2   ∴OB＝4，OA＝
由折疊知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝
∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3   ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）
【小題2】（2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過(guò)C（，3）、A（，0）兩點(diǎn)
∴     解得：
∴此拋物線的解析式為：
【小題3】（3）存在. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/b/gvpq4.png" style="vertical-align:middle;" />的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，3）即為點(diǎn)C，MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因?yàn)椤螧OA＝30⁰，所以O(shè)N＝ ， ∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）
∴ 存在滿足條件的點(diǎn)P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時(shí)P點(diǎn)的坐為（，）     （12分）

解析