1．點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，OE⊥AB于E，OD⊥CB于D，OF⊥AC于F．求證：BD+CF+AE是定值．

分析 通過構(gòu)建直角三角形，可根據(jù)勾股定理，把所求的線段都表示出來，然后經(jīng)過化簡(jiǎn)得出結(jié)論是否正確．

解答 證明：設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為a，如圖，連接OA、OB、OC，根據(jù)勾股定理得：
BD2+OD2=OB2=BE2+OE2①，
CF2+OF2=OC2=CD2+OD2②，
AE2+OE2=AO2=AF2+OF2③，
①+②+③得：BD2+CF2+AE2=BE2+CD2+AF2，
∴BD2+CF2+AE2=（a-AE）2+（a-BD）2+（a-CF）2=a2-2AE•a+AE2+a2-2BD•a+BD2+a2-2CF•a+CF2
整理得：2a（AE+BD+CF）=3a2
∴BD+CF+AE=$\frac{3}{2}$a．
∴BD+CF+AE是定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，由于知識(shí)點(diǎn)比較多，本題的難度比較大．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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