【題目】(1) 如圖1,MA1∥NA2,則∠A1+∠A2=_________度.
如圖2,MA1∥NA3,則∠A1+∠A2+∠A3=_________ 度.
如圖3,MA1∥NA4,則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=_________度.
如圖4,MA1∥NA5,則∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=_________度.
如圖5,MA1∥NAn,則∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=_________ 度.
(2) 如圖,已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分線相交于F,∠E=80°,求∠BFD的度數(shù).
【答案】(1) 180; 360; 540;720;180(n-1);(2)140°.
【解析】試題分析:(1)首先過(guò)各點(diǎn)作MA 1 的平行線,由MA 1 ∥NA 2 ,可得各線平行,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),即可求得答案;
(2)由(1)中的規(guī)律可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°,所以∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°,又因?yàn)?/span>BF、DF平分∠ABE和∠CDE,所以∠FBE+∠FDE=140°,又因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°,進(jìn)而可得答案.
試題解析:(1)如圖1,
∵M(jìn)A 1 ∥NA 2 ,
∴∠A 1 +∠A 2 =180°.
如圖2,過(guò)點(diǎn)A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M,
∵M(jìn)A 1 ∥NA 3 ,
∴A 2 C 1 ∥A 1 M∥NA 3 ,
∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°,∠C 1 A 2 A 3 +∠A 3 =180°,
∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 =360°.
如圖3,過(guò)點(diǎn)A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M,過(guò)點(diǎn)A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M,
∵M(jìn)A 1 ∥NA 3 ,
∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ,
∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°,∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°,∠C 2 A 3 A 4 +∠A 4 =180°,
∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 =540°.
如圖4,過(guò)點(diǎn)A 2 作A 2 C 1 ∥A 1 M,過(guò)點(diǎn)A 3 作A 3 C 2 ∥A 1 M,
∵M(jìn)A 1 ∥NA 3 ,
∴A 2 C 1 ∥A 3 C 2 ∥A 1 M∥NA 3 ,
∴∠A 1 +∠A 1 A 2 C 1 =180°,∠C 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 C 2 =180°,∠C 2 A 3 A 4 +∠A 3 A 4 C 3 =180°,∠C 3 A 4 A 5 +∠A 5 =180°,
∴∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +∠A 4 +∠A 5 =720°;
從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了規(guī)律:如圖5,MA 1 ∥NA n ,則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180(n-1)度,
故答案為:180,360,540,720,180(n-1);
(2)由(1)可得∠ABE+∠E+∠CDE=360°,
∵∠E=80°,
∴∠ABE+∠CDE=360°-80°=280°,
又∵BF、DF平分∠ABE和∠CDE,
∴∠FBE+∠FDE=140°,
∵∠FBE+∠E+∠FDE+∠BFD=360°,
∴∠BFD=360°-80°-140°=140°.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì):兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)、四邊形的內(nèi)角和是360°,解題的關(guān)鍵是,(1)小題正確添加輔助線,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:MA 1 ∥NA n ,則∠A 1 +∠A 2 +∠A 3 +…+∠A n =180(n-1)度;(2)小題能應(yīng)用(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律.
【題型】解答題
【結(jié)束】
28
【題目】已知如圖1,線段AB、CD相交于點(diǎn)O,連結(jié)AC、BD,我們把形如圖1的圖形稱(chēng)之為“8字形”,那么在這一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形中,到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢?下面就請(qǐng)你發(fā)揮聰明才智,解決以下問(wèn)題:
(1)在圖1中,請(qǐng)寫(xiě)出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)仔細(xì)觀察,在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)有 個(gè);
(3)在圖2中,若∠B=76°,∠C=80°,∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,并且與CD、AB分別相交于M、N利用(1)的結(jié)論,試求∠P的度數(shù);
(4)在圖3中,如果∠B和∠C為任意角,并且AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線,即∠PAO=∠CAO, ∠BDP=∠BOD,那么∠P與∠C、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系是 (直接寫(xiě)出結(jié)論即可).
【答案】(1) ∠A+∠C=∠B+∠D;證明見(jiàn)解析;(2)6;(3)78°;(4)∠P=
【解析】試題分析:(1)根據(jù)對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理可得解;
(2)根據(jù)“8字形”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),根據(jù)交點(diǎn)寫(xiě)出“8字形”的三角形,然后確定即可;
(3)在圖2中,由∠C=80°,∠B=76°,可求∠P的度數(shù);
(4)由(3)中的結(jié)論可得解.
試題解析:(1)在△AOC中,∠AOC=180°-∠A-∠C,
在△DOB中,∠BOD=180°-∠D-∠B,
∵∠AOC=∠BOD
∴180°-∠A-∠C=180°-∠D-∠B
∴∠A+∠C=∠B+∠D
(2)交點(diǎn)有點(diǎn)M、N各有1個(gè),交點(diǎn)O有4個(gè),所以,“8字形”圖形共有6個(gè);
(3)∵∠B=76°,∠C=80°,
∴∠OAC+80°=∠ODB+76°,
∴∠ODB-∠OAC =4°,
∵AP、DP分別是∠CAO、∠BDO的角平分線
∴∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO
又∵∠CAM+∠C=∠PDO+∠P
∴∠P=∠CAM+∠C-∠PDO= (∠CAO-∠BDO)+∠C=-2°+80°=78°
(4)由(3)可知∠P=∠CAM+∠C-∠PDO,
當(dāng)AP和DP分別是∠CAB和∠BDC的三等分線時(shí),則有
∠CAM=∠CAO,∠PDO=∠BDO
∴∠P= (∠CAO-∠BDO)+∠C,
又∵由(3)知∠CAO-∠BDO=∠B-∠C
∴∠P=∠B-∠C+∠C=∠B+∠C
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知A(﹣2,4),B(4,2),C(2,﹣1)
(1)作△ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形△A1B1C1,寫(xiě)出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1的坐標(biāo);
(2)P為x軸上一點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出使△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P并直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)(保留作圖痕跡).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且BC=a,AB=b.
①填空:當(dāng)點(diǎn)A位于 時(shí),線段AC的長(zhǎng)取得最大值,且最大值為 (用含a,b的式子表示)
(2)應(yīng)用:點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且BC=3,AB=1,如圖2所示,分別以AB、AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.
①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段,并說(shuō)明理由;
②直接寫(xiě)出線段BE長(zhǎng)的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB=AC,直徑AD交BC于點(diǎn)E,F(xiàn)是OE上的一點(diǎn),使CF∥BD.
(1)求證:BE=CE;
(2)試判斷四邊形BFCD的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)若BC=8,AD=10,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為5的⊙O中,弦AB=8,P是弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn),連接AP,過(guò)點(diǎn)A作AP的垂線交射線PB于點(diǎn)C,當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí),線段BC的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某玩具廠有4個(gè)車(chē)間,某周是質(zhì)量檢查周,現(xiàn)每個(gè)車(chē)間都原有a(a>0)個(gè)成品,且每個(gè)車(chē)間每天都生產(chǎn)b(b>0)個(gè)成品,質(zhì)量科派出若干名檢驗(yàn)員周一、周二檢驗(yàn)其中兩個(gè)車(chē)間原有的和這兩天生產(chǎn)的所有成品,然后,周三到周五檢驗(yàn)另外兩個(gè)車(chē)間原有的和本周生產(chǎn)的所有成品,假定每名檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同.
(1)這若干名檢驗(yàn)員1天共檢驗(yàn)多少個(gè)成品?(用含a、b的代數(shù)式表示)
(2)若一名檢驗(yàn)員1天能檢驗(yàn)b個(gè)成品,則質(zhì)量科至少要派出多少名檢驗(yàn)員?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(a≠0)的圖象如圖所示,則下列命題中正確的是( )
A. a >b>c
B. 一次函數(shù)y=ax +c的圖象不經(jīng)第四象限
C. m(am+b)+b<a(m是任意實(shí)數(shù))
D. 3b+2c>0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】據(jù)官方數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),70周年國(guó)慶閱兵網(wǎng)上總觀看人次突破513000000,最高同時(shí)在線人數(shù)突破600萬(wàn).將513000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為( 。
A.5.13×108B.5.13×109C.513×106D.0.513×109
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠A=30°,∠B=62°,CE平分∠ACB,CD⊥AB于D,DF⊥CE于F,求∠CDF的度數(shù).
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