Question

如圖，已知點A的坐標(biāo)是（-1，0），點B的坐標(biāo)是（9，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點C，連接AC，BC，過A，B，C三點作拋物線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，連接BD，求直線BD的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
第三問改成，在（2）的條件下，點P是直線BC下方的拋物線上一動點，當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時，△PCD的面積是△BCD面積的三分之一，求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負(fù)半軸于點C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，（1分）
∴

OA

OC

=

OC

OB

．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴

1

OC

=

OC

9

，
解得OC=3（負(fù)值舍去）．
∴C（0，-3），
故設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=

1

3

，
∴二次函數(shù)的解析式為y=

1

3

（x+1）（x-9），
即y=

1

3

x²-

8

3

x-3．（4分）

（2）∵AB為O′的直徑，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），（5分）
∵點E是AC延長線上一點，∠BCE的平分線CD交⊙O′于點D，
∴∠BCD=

1

2

∠BCE=

1

2

×90°=45°，
連接O′D交BC于點M，
則∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=

1

2

AB=5．
∴O′D⊥x軸
∴D（4，-5）．（6分）
∴設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0）
∴

9k+b=0 4k+b=-5

（7分）
解得

k=1 b=-9

∴直線BD的解析式為y=x-9．（8分）

（3）假設(shè)在拋物線上存在點P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：設(shè)射線DP交⊙O′于點Q，則

BQ

=

CD

．
分兩種情況（如圖所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把點C、D繞點O′逆時針旋轉(zhuǎn)90°，使點D與點B重合，則點C與點Q₁重合，
因此，點Q₁（7，-4）符合

BQ

=

CD

，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ₁解析式為y=

1

3

x-

19

3

．（9分）
解方程組

y= 1 3 x- 19 3 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1= 9- 41 2 y1= -29- 41 6

或

x2= 9+ 41 2 y2= -29+ 41 6

∴點P₁坐標(biāo)為（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），坐標(biāo)為（

9- 41

2

，

-29- 41

6

）不符合題意，舍去．（10分）
②∵Q₁（7，-4），
∴點Q₁關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為Q₂（7，4）也符合

BQ

=

CD

．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系數(shù)法可求出直線DQ₂解析式為y=3x-17．（11分）
解方程組

y=3x-17 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1=3 y1=-8

，
即

x2=14 y2=25

∴點P₂坐標(biāo)為（14，25），坐標(biāo)為（3，-8）不符合題意，舍去．（12分）
∴符合條件的點P有兩個：P₁（

9+ 41

2

，

-29+ 41

6

），P₂（14，25）．

解法二：分兩種情況（如圖所示）：
①當(dāng)DP₁∥CB時，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系數(shù)法可求出直線BC解析式為y=

1

3

x-3．
又∵DP₁∥CB，
∴設(shè)直線DP₁的解析式為y=

1

3

x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-

19

3

，
∴直線DP₁解析式為y=

1

3

x-

19

3

．（9分）
解方程組

y= 1 3 x- 19 3 y= 1 3 x2- 8 3 x-3

得

x1= 9- 41 2 y1= -29- 41 6

或

x2= 9+ 41 2 y2= -29+