Question

（2013年四川瀘州10分）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD²=CA•CB；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的長．

Answer 1

解：（1）證明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ADC∽△DBC，
∴，即CD²=CA•CB。
（2）證明：如圖，連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°�！唷�1+∠3=90°。
∵OA=OD，∴∠2=∠3。∴∠1+∠2=90°。
又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，
∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°。∴OD⊥OA。
又∵OA是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線。
（3）如圖，連接OE，
∵EB、CD均為⊙O的切線，∴ED=EB，OE⊥DB。
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°�！唷螦BD=∠OEB�！唷螩DA=∠OEB。
∵tan∠CDA=，∴。
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴。
∵BC=12，∴CD=8。
在Rt△CBE中，設(shè)BE=x，
∴（x+8）²=x²+12²，解得x=5。
∴BE的長為5。

（1）通過相似三角形（△ADC∽△DBC）的對應(yīng)邊成比例來證得結(jié)論。
（2）如圖，連接OD．欲證明CD是⊙O的切線，只需證明CD⊥OA即可。
（3）通過相似三角形△EBC∽△ODC的對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于BE的方程，通過解方程來求線段BE的長度即可。