一開口向上拋物線與x軸交于A(m﹣2,0),B(m+2,0)兩點,頂點C,且AC⊥BC.
(1)若m為常數(shù),求拋物線解析式.
(2)點Q在直線y=kx+1上移動,O為原點,當m=4時,直線上只存在一個點Q使得∠OQB=90°,求此時直線解析式.
解:(1)設拋物線的解析式為:y=a(x﹣m)2﹣2,
∵AC⊥BC,
∴由拋物線的對稱性可知:△ACB為等腰直角三角形,
又∵AB=4,
∴B(m+2,0)代入y=a(x﹣m)2﹣2,得a=
∴解析式為:;
(2)當m=4時,B(6,0),y=kx+1與x軸交于H,與y軸交于E(0,1),
設OB中點為G,以OB為直徑作⊙G,
當直線與⊙G切于點Q時,只存在一個點Q使∠OQB=90°,
設HO=t,
∵HQ是⊙G切線,
∴∠EOH=HQG=90°,
又∵∠OHE=∠QHG,
∴△HOE∽△HQG,
=
由QG=3,OE=1,代入得HQ=3t,
在△HQG中,HQ2+QG2=HG2,即(3t)2+32=(t+3)2,
整理得4t2﹣3t=0,
解得:t=,或t=0(舍去),
所以點H的坐標為(﹣,0),
把H(﹣,0)代入y=kx+1得:k=,
所以此時直線解析式為y=x+1.
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2x
1-x
=
1
x
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2x
1-x
=
1
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