Question

如圖1，四邊形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分別在AB、AD邊上，已知AB=4．

（1）求正方形ABCD的周長(zhǎng)；
（2）將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，求證：BE=DG．
（3）將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BE交DG于點(diǎn)H，設(shè)BH與AD的交點(diǎn)為M．
①求證：BH⊥DG；
②當(dāng)AE=

2

時(shí)，求線段BH的長(zhǎng)（精確到0.1）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的周長(zhǎng)定義求解；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，AE=AG，在根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAE=∠DAG=θ，然后根據(jù)“SAS”判斷△BAE≌△DAG，則BE=DG；
（3）①由BAE≌△DAG得到∠ABE=∠ADG，而∠AMB=∠DMH，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到∠DHM=∠BAM=90°，則BH⊥DG；
②連結(jié)GE交AD于點(diǎn)N，連結(jié)DE，由于正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，由AE=

2

可得到AN=GN=1，所以DN=4-1=3，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出DG=

10

，則BE=

10

，解著利用S_△DEG=

1

2

GE•ND=

1

2

DG•HE可計(jì)算出HE=

3 10

5

，所以BH=BE+HE=

8 10

5

≈5.1．

解答：（1）解：正方形ABCD的周長(zhǎng)=4×4=16；

（2）證明：∵四邊形ABCD，AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，
∵將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），
∴∠BAE=∠DAG=θ，
在△BAE和△DAG，

AB=AD ∠BAE=∠DAG AE=AG

，
∴△BAE≌△DAG（SAS），
∴BE=DG；

（3）①證明：∵△BAE≌△DAG，
∴∠ABE=∠ADG，
又∵∠AMB=∠DMH，
∴∠DHM=∠BAM=90°，
∴BH⊥DG；
②解：連結(jié)GE交AD于點(diǎn)N，連結(jié)DE，如圖，
∵正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，
∴AF與EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE=

2

，
∴AN=GN=1，
∴DN=4-1=3，
在Rt△DNG中，DG=

DN2+GN2

=

10

；
∴BE=

10

，
∵S_△DEG=

1

2

GE•ND=

1

2

DG•HE，
∴HE=

6

10

=

3 10

5

，
∴BH=BE+HE=

3 10

5

+

10

=

8 10

5

≈5.1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角形全等的知識(shí)解決線段相等的問(wèn)題；會(huì)運(yùn)用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算．