Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A（﹣1，0），拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）如圖2，直線l是拋物線的對稱軸，點(diǎn)P是直線l上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△PBC是直角三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（2）如圖3，連接BC，點(diǎn)M是直線BC上方的拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△MBC的面積最大時，求△MBC的面積的最大值；點(diǎn)N是線段BC上的一點(diǎn)，求MN+BN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，4）或（1，﹣2）或（1，）或（1，）；（2）

【解析】

（1）函數(shù)的對稱軸x＝﹣＝1，則點(diǎn)B（3，0），即可求解；

（2）分PB為斜邊、PC為斜邊、BC為斜邊三種情況，分別求解即可；

（3）△MBC的面積S＝×MN′×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x）＝﹣3x2+x，﹣3＜0，故S有最大值為，此時點(diǎn)M（，）；HN′＝BN′，MN+BN最小值＝MN′+N′H＝MH，即點(diǎn)N′為所求的點(diǎn)N，即可求解．

（1）函數(shù)的對稱軸x＝﹣＝1，則點(diǎn)B（3，0），

則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+2x+3；

存在，理由：

設(shè)：點(diǎn)P（1，m），

則PB2＝m2+4，PC2＝（m﹣3）2+1，BC2＝18，

①當(dāng)PB為斜邊時，則m2+4＝（m﹣3）2+1+18，解得：m＝4；

②當(dāng)PC為斜邊時，同理可得：m＝﹣2；

③當(dāng)BC為斜邊時，同理可得：m＝；

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，4）或（1，﹣2）或（1，）或（1，）；

（2）過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)N′，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：

直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，則∠CBA＝45°，

設(shè)點(diǎn)M（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)N′（x，﹣x+3），

△MBC的面積S＝×MN′×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x）＝﹣3x2+x，

∵﹣3＜0，故S有最大值為，此時點(diǎn)M（，）；

HN′＝BN′，

MN+BN最小值＝MN′+N′H＝MH，即點(diǎn)N′為所求的點(diǎn)N，

故MN+BN最小值為＝MH＝yM＝．