Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C（2，﹣1），與x軸交于A，B兩點(diǎn)，OA=3；

（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖1，一次函數(shù)y＝﹣x+3圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)D，連結(jié)AC、BD，在x軸上有一點(diǎn)Q，使△AQC 與△ABD相似，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；

（3）如圖2，在直線y＝kx -1(k＞0）上是否存在唯一一點(diǎn)P，使得∠APB＝90°？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）；（3）存在，k=1，k=，k=．

【解析】

（1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（2，﹣1）可得對(duì)稱軸為x=2，然后再根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱性，確定A、B的坐標(biāo)，然后使用待定系數(shù)法即可解答；

（2）先通過等腰三角形和相似三角形的性質(zhì)得到∠CAQ＝∠DAB＝45°，然后分＝和＝兩種情況解答即可；

（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，ka-1），以AB的中點(diǎn)O為圓心作⊙O，以AB為直徑畫圓恰好與直線y＝kx-1(k＞0）相切與P點(diǎn)，然后確定圓的半徑長(zhǎng)度，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式列方程，最后根據(jù)條件即可確定k的取值．

解（1）∵函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（2，﹣1）

∴對(duì)稱軸為x=2

∵OA=3

∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為:2-(3-2)=1,A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3

∴A(3,0),B(1,0)

∴解得

∴函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x+3；

（2）如圖：連接AC、QC、BD,

令x=0,則y＝﹣0+3=3，即點(diǎn)D坐標(biāo)為（0,3）

∴OA=OD

∴∠DAB＝45°

要使△AQC∽△ADB，則∠CAQ＝∠DAB＝45°，

①當(dāng)＝時(shí)，△AQC∽△ADB，即＝，解得AQ＝3，此時(shí)Q（0，0）；

②當(dāng)＝時(shí)，△AQC∽△ABD，即＝，解得AQ＝，此時(shí)Q（，0）；

綜上所述，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0）或（，0）；

（3）連接設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，ka-1），以AB的中點(diǎn)O為圓心作⊙O，以AB為直徑畫圓恰好與直線y＝kx-1(k＞0）相切與P點(diǎn)，即AP⊥BP

∵A(3,0),B(1,0)

∴AO=BO=AB=1

∴即：（k-1）a2-（2k+2）a+1=0

∵在直線y＝kx-1(k＞0）上是否存在唯一一點(diǎn)P，使得∠APB＝90°

∴①當(dāng)（k-1）a2-（2k+2）a+1=0為關(guān)于a的一元一次方程時(shí)，則k-1=1，即k=1；

②①當(dāng)（k-1）a2-（2k+2）a+1=0為關(guān)于a的一元二次方程時(shí)，則：

（2k+2）2-4（k-1）=0解得：k=，k=；

綜上，存在滿足題意得k且取值為k=1，k=，k=．