Question

【題目】如圖,已知拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三點(diǎn),其頂點(diǎn)為D,對(duì)稱軸是直線l,l與x軸交于點(diǎn)H

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求△PBC周長的最小值;

(3)如圖(2),若B是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(E與A.D不重合),過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,△ADF的面積為S.

①求S與m的函數(shù)關(guān)系式

②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）y=-x-2x+3;（2）3+

（3）①②（-2,2）

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn),用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可;

(2)根據(jù)BC是定值,得到當(dāng)PB+PC最小時(shí),△PBC的周長最小,根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可;

(3)設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m,表示出E(m,2m+6),F(m,-m-2m+3),最后表示出EF的長,從而表示

出S于m的函數(shù)關(guān)系,然后求二次函數(shù)的最值即可解答

(1)由題意可知

解得:

∴拋物線的解析式為:y=-x-2x+3;

（2）∵△PBC的周長為:PB+PC+BC

∵BC是定值,

∴當(dāng)PB+PC最小時(shí),△PBC的周長最小

∵點(diǎn)A點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

∴連接AC交1于點(diǎn)P,即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)

.∵AP= BP

∴△PBC的周長最小是:

PB+PC+BC=AC+BC

∵A(-3,0),B(1,0),C(0,3),

∴AC=3 BC=

故△PBC周長的最小值為3+

（3）①:拋物線y=-x-2x+3;頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4)

∵A(-3,0)

∴直線AD的解析式為y=2x+6

∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m

∴E(m,2m+6),F(m,-m-2m+3

∴EF=-m-2m+3-(2m+6)=-m-4m-3

∴S= S△DEF+S△AEF=

②

∴當(dāng)m=-2時(shí)，S最大，最大值為1

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2,2）