Question

如圖1，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°
（1）如圖2，若點C、A、D在同一條直線上，且點E在AB上，連接CE、BD，試判斷CE與BD有什么樣的關系，并說明理由．
（2）將△ADE繞點A旋轉到如圖3所示的位置，同樣連接CE、BD，（1）中的結論還成立嗎？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等腰直角三角形兩直角邊相等和直角相等，可以證明△ACE和△ABD全等，再根據全等三角形對應邊相等得到CE=BD，全等三角形對應角相等得到∠ACE=∠ABD，又∠AEC=∠BEM，所以∠BME=∠CAE=90°，所以CE⊥BD．
（2）結論和證明思路與（1）相同．

解答：解：（1）CE=BD，CE⊥BD．
證明如下：在圖2中，延長CE交BD于點M，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DAE=90°，
∴AC=AB，AE=AD，
在△ACE和△ABD中，

AC=AB ∠BAC=∠DAE=90° AE=AD

∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，
又∠AEC=∠BEM，
而∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BEM=90°，
∴∠CMB=90°，
∴CE⊥BD；

（2）（1）中的結論CE=BD，CE⊥BD成立，
延長BD交CE于點M．
證明過程與（1）相同．

點評：本題考查了三角形全等的判定和全等三角形的性質及等腰三角形的性質；作出輔助線結合圖形弄清楚解題思路是求解的關鍵．