Question

【題目】已知拋物線l：y=（x﹣h）2﹣4（h為常數(shù)）

（1）如圖1，當(dāng)拋物線l恰好經(jīng)過點(diǎn)P（1，﹣4）時(shí)，l與x軸從左到右的交點(diǎn)為A、B，與y軸交于點(diǎn)C．

①求l的解析式，并寫出l的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．

②在l上是否存在點(diǎn)D，使S△ABD=S△ABC ， 若存在，請求出D點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

③點(diǎn)M是l上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M做ME垂直y軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（2）設(shè)l與雙曲線y=有個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，且滿足3≤x0≤5，通過l位置隨h變化的過程，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，拋物線的對稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；②（1+，3）或（1﹣，3）；③（﹣+1，﹣）或（+1，﹣）；（2）當(dāng)2≤h≤5﹣或4≤h≤5+時(shí).

【解析】（1）①將P（1，-4）代入得到關(guān)于h的方程，從而可求得h的值，可得到拋物線的解析式，然后依據(jù)拋物線的解析式可直接得到拋物線的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

②先求得OC的長，然后由三角形的面積公式可得到點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3或-3，最后將y的值代入求得對應(yīng)的x的值即可；

③先證明四邊形OEDF為矩形，則DO=EF，由垂線的性質(zhì)可知當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD有最小值，即EF有最小值，然后由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后可的點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，由函數(shù)的關(guān)系式可求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；

（2）拋物線y=（x-h）2-4的頂點(diǎn)在直線y=-4上，然后求得當(dāng)x=3和x=5時(shí)，雙曲線對應(yīng)的函數(shù)值，得到點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后分別求得當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B時(shí)對應(yīng)的h的值，然后畫出平移后的圖象，最后依據(jù)圖象可得到答案．

（1）①將P（1，﹣4）代入得：（1﹣h）2﹣4=﹣4，解得h=1，

∴拋物線的解析式為y=（x﹣1）2﹣4，

∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）；

②將x=0代入得：y=﹣3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），

∴OC=3，

∵S△ABD=S△ABC，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3或﹣3，

當(dāng)y=﹣3時(shí)，（x﹣1）2﹣4=﹣3，解得x=2或x=0，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（2，﹣3），

當(dāng)y=3時(shí)，（x﹣1）2﹣4=3，解得：x=1+或x=1﹣，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1+ ，3）或（1﹣ ，3），

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）時(shí)，S△ABD=S△ABC ；

③如圖1所示：

∵∠EOF=∠OED=∠OFD=90°，

∴四邊形OEDF為矩形，

∴DO=EF，

依據(jù)垂線段的性質(zhì)可知：當(dāng)OD⊥BC時(shí)，OD有最小值，即EF有最小值，

把y=0代入拋物線的解析式得：（x﹣1）2﹣4=0，解得x=﹣1或x=3，

∴B（3，0），

∴OB=OC，

又∵OD⊥BC，

∴CD=BD，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)（，﹣），

將y=﹣代入得：（x﹣1）2﹣4=﹣，解得x=﹣+1或x= +1．

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣+1，﹣）或（ +1，﹣）

（2）∵y=（x﹣h）2﹣4，

∴拋物線的頂點(diǎn)在直線y=﹣4上，

理由：對雙曲線，當(dāng)3≤x0≤5時(shí)，﹣3≤y0≤﹣，

即L與雙曲線在A（3，﹣3），B（5，﹣）之間的一段有個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，（3﹣h）2﹣4=﹣3，解得h=2或h=4，

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，（5﹣h）2﹣4=﹣，解得：h=5+或h=5﹣ ，

隨h的逐漸增加，l的位置隨向右平移，如圖所示，

由函數(shù)圖象可知：當(dāng)2≤h≤5﹣或4≤h≤5+時(shí)，拋物線與雙曲線在3≤x0≤5段有個(gè)交點(diǎn).