Question

如圖，點P為正方形內一點，若PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析：設PA=1，則PB=2，PC=3，根據(jù)正方形的性質得BA=BC，∠ABC=90°，所以把△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△BEA，然后根據(jù)旋轉的性質得BE=BP=2，EA=PC=3，∠PBE=∠CBA=90°，則△PBE為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得∠BPE=45°，PE=

2

PB=2

2

，在△APE中，由于PA²+PE²=AE²，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△AEP為直角三角形，∠APE=90°，然后利用∠APB=∠APE+∠BPE計算即可．

解答：解：設PA=1，則PB=2，PC=3，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△BEA，如圖，
∴BE=BP=2，EA=PC=3，∠PBE=∠CBA=90°，
∴△PBE為等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，PE=

2

PB=2

2

，
在△APE中，PA=1，PE=2

2

，AE=3，
∵1²+（2

2

）²=3²，
∴PA²+PE²=AE²，
∴△AEP為直角三角形，∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等腰直角三角形的性質、正方形的性質以及勾股定理的逆定理．