Question

【題目】如圖，⊙是△ABC的外接圓，AC是直徑，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DO交⊙于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，作射線DE交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，連接PF。

(1)、若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長(zhǎng)；（結(jié)果保留π）

(2)、求證：OD=OE；

(3)、求證：PF是⊙的切線。

Answer 1

【答案】(1)、2π；(2)、證明過(guò)程見(jiàn)解析；(3)、證明過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1)、根據(jù)直徑得出半徑的長(zhǎng)度，然后根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式進(jìn)行求解；(2)、根據(jù)垂直得出∠ADO=∠PEO，對(duì)頂角相等，半徑相等得出△ADO和△PEO全等，從而得出OD=OE；(3)、連接PC，根據(jù)直徑得出∠ABC=90°，從而說(shuō)明PD∥BC，根據(jù)已知條件結(jié)合(2)得出△PCE和△PFC全等，從而說(shuō)明∠OPF=90°，得出切線.

試題解析：(1)、由直徑AC=12得半徑OC=6 劣弧PC的長(zhǎng)為

(2)、∵ OD⊥AB，PE⊥AC ∴ ∠ADO=∠PEO=90°

在△ADO和△PEO中，∠ADO=∠PEO，∠AOD=∠POE，OA=OP ∴ △ADO≌△PEO ∴ OD=OE

(3)、連接PC，由AC是直徑知BC⊥AB，又OD⊥AB， ∴ PD∥BF

∴ ∠OPC=∠PCF，∠ODE=∠CFE 由（2）知OD=OE，則∠ODE=∠OED，又∠OED=∠FEC

∴ ∠FEC=∠CFE ∴ EC=FC 由OP=OC知∠OPC=∠OCE

∴ ∠PCE =∠PCF 在△PCE和△PFC中， EC=FC ∠PCE=∠PCF PC=PC

∴ △PCE≌△PFC ∴ ∠PFC =∠PEC=90° 由∠PDB=∠B=90°可知∠OPF=90°即OP⊥PF

∴ PF是⊙的切線