Question

【題目】如圖，用一塊長(zhǎng)為50cm、寬為30cm的長(zhǎng)方形鐵片制作一個(gè)無蓋的盒子，若在鐵片的四個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm．

（1）底面的長(zhǎng)AB＝　 cm，寬BC＝　 cm（用含x的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)做成盒子的底面積為300cm2時(shí)，求該盒子的容積．

（3）該盒子的側(cè)面積S是否存在最大的情況？若存在，求出x的值及最大值是多少？若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）50﹣2x，30﹣2x；（2）當(dāng)x1＝10時(shí)，盒子容積為3000cm3；（3）當(dāng)x＝10時(shí)，S有最大值，最大值為800．

【解析】

（1）利用長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬以及在鐵片的四個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，得出AB與BC的長(zhǎng)即可；

（2）利用（1）中長(zhǎng)與寬以及盒子的底面積為300cm2時(shí)得出x的值，即可的求出盒子的容積；

（3）利用盒子側(cè)面積為：S=2x（50-2x）+2x（30-2x）進(jìn)而利用配方法求出最值即可．

（1）∵用一塊長(zhǎng)為50cm、寬為30cm的長(zhǎng)方形鐵片制作一個(gè)無蓋的盒子，在鐵片的四個(gè)角截去四個(gè)相同的小正方形，

設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，

∴底面的長(zhǎng)AB＝（50﹣2x）cm，寬BC＝（30﹣2x）cm，

故答案為：50﹣2x，30﹣2x；

（2）依題意，得：

（50﹣2x）（30﹣2x）＝300

整理，得：x2﹣40x+300＝0

解得：x1＝10，x2＝30（不符合題意，舍去）

當(dāng)x1＝10時(shí)，盒子容積＝（50﹣20）（30﹣20）×10＝3000（cm3）；

（3）盒子的側(cè)面積為：

S＝2x（50﹣2x）+2x（30﹣2x）

＝100x﹣4x2+60x﹣4x2

＝﹣8x2+160x＝﹣8（x2﹣20x）

＝﹣8[（x﹣10）2﹣100]

＝﹣8（x﹣10）2+800

∵﹣8（x﹣10）2≤0，

∴﹣8（x﹣10）2+800≤800，

∴當(dāng)x＝10時(shí)，S有最大值，最大值為800．