【題目】如圖,已知直線x軸交于點A,與y軸交于點B,將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD

1)點C的坐標(biāo)是   ,線段AD的長等于   ;

2)點MCD上,且CM=OM,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點G,M,求拋物線的解析式;

3)如果點Ey軸上,且位于點C的下方,點F在直線AC上,那么在(2)中的拋物線上是否存在點P,使得以C,EF,P為頂點的四邊形是菱形?若存在,請求出該菱形的周長l;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(1)(03);4;(2;(3)拋物線上存在點P,使得以C,E,F,P為頂點的四邊形是菱形.

【解析】

1)首先求出圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B的坐標(biāo),進(jìn)而得出C點坐標(biāo)以及線段AD的長;

2)首先得出點MCD的中點,即可得出M點坐標(biāo),進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式;

3)分別根據(jù)當(dāng)點F在點C的左邊時以及當(dāng)點F在點C的右邊時,分析四邊形CFPE為菱形得出即可.

1x軸交于點A,與y軸交于點B,

∴y=0時,x=3,x=0時,y=1

∴A點坐標(biāo)為:(﹣3,0),B點坐標(biāo)為:(01).

∴OC=3,DO=1

C的坐標(biāo)是(03),線段AD的長等于4

2∵CM=OM

∴∠OCM=∠COM

∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°,

∴∠ODM=∠MOD

∴OM=MD=CM

MCD的中點,

M的坐標(biāo)為(,).

拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點C,M

,解得:

拋物線y=x2+bx+c的解析式為:

3)情形1:如圖1,當(dāng)點F在點C的左邊時,四邊形CFEP為菱形,

∴∠FCE=PCE

由題意可知,OA=OC

∴∠ACO=∠PCE=45°

∴∠FCP=90°

菱形CFEP為正方形.

過點PPH⊥CE,垂足為H,

Rt△CHP為等腰直角三角形.

∴CP=CH=PH

設(shè)點P為(x,),則OH=,PH=x

∵PH=CH=OCOH,

,

解得:x1=, x2=0(舍去).

∴CP=CH=

菱形CFEP的周長l為:

情形2:如圖2,當(dāng)點F在點C的右邊時,四邊形CFPE為菱形,

∴CF=PFCE∥FP

直線AC過點A(﹣3,0),點C0,3),

直線AC的解析式為:y=x+3

過點CCM⊥PF,垂足為M,

Rt△CMF為等腰直角三角形,CM=FM

延長PFx軸于點N,則PN⊥x軸,

∴PF=FNPN

設(shè)點P為(x,),則點F為(x,x+3),

,

解得:,x2=0(舍去).

菱形CFEP的周長l為:).

綜上所述,這樣的菱形存在,它的周長為

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