【題目】已知,如圖拋物線(xiàn)y=ax2+3ax+c(a>0)與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè).點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0).OC=3OB.
(1)求拋物線(xiàn)的解析式;
(2)若點(diǎn)P是線(xiàn)段AC下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),求三角形PAC面積的最大值.
(3)在(2)的條件下,△PAC的面積為S,其中S為整數(shù)的點(diǎn)P作“好點(diǎn)”,則存在多個(gè)“好點(diǎn)”,則所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為
(4)在(2)的條件下,以PA為邊向直線(xiàn)AC右上側(cè)作正方形APHG,隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng),正方形的大小、位置也隨之改變,當(dāng)頂點(diǎn)H或G恰好落在y軸上時(shí),直接寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:y=x2+x﹣6;
(2)當(dāng)x=﹣時(shí),S的最大值為:;
(3)4;
(4)點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(,﹣5)或(,).
【解析】
(1)先確定點(diǎn)C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求解;
(2)先求出直線(xiàn)AC的解析式,再過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交AC于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x,由于△PAC面積S=PH×OA,且OA易求,只需用含x的代數(shù)式表示出PH的長(zhǎng)即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果;
(3)根據(jù)(2)題的關(guān)系式并結(jié)合x的范圍逐一驗(yàn)證S是否為整數(shù)即得答案;
(4)分點(diǎn)G在y軸上和點(diǎn)H在y軸上兩種情況,利用正方形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形分別求解即可.
解:(1)OC=3OB=6,故點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為:(2,0)、(0,﹣6),則拋物線(xiàn)為y=ax2+3ax﹣6,
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得:0=4a+6a﹣6,解得:a=,
故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為:y=x2+x﹣6;
(2)y=x2+x﹣6,令y=0,則x=﹣5或2,故點(diǎn)A(﹣5,0),
將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=kx+b并解得:直線(xiàn)AC的解析式為:y=﹣ x﹣6,
過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交AC于點(diǎn)H,
設(shè)點(diǎn)P(x,x2+x﹣6),點(diǎn)H(x,﹣x﹣6),
△PAC面積S=PH×OA==﹣x2﹣x,
∵﹣<0,故S有最大值, 當(dāng)x=﹣時(shí),S的最大值為:;
(3)△PAC面積S=﹣x2﹣x,因?yàn)辄c(diǎn)P是線(xiàn)段AC下方拋物線(xiàn)上的點(diǎn),所以-5<x<0,
當(dāng)x=﹣4時(shí),S=6;當(dāng)x=﹣3時(shí),s=9;當(dāng)x=﹣2時(shí),S=9;當(dāng)x=﹣1時(shí),s=6;
所以“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為4,
故答案為4;
(4)如圖2左側(cè)圖,
①當(dāng)點(diǎn)G在y軸上時(shí),作PR⊥x軸于點(diǎn)R,
∵∠GAO+∠PAO=90°,∠PAO+∠APR=90°,
∴∠APR=∠GAO,
∵∠AOG=∠PRA=90°,AP=AG,
∴△AOG≌△PRA(AAS),
∴OA=PR=5,
故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為:﹣5,
則y=x2+x﹣6=﹣5,解得:x=(不合題意的值已舍去),
故點(diǎn)P(,﹣5);
②當(dāng)點(diǎn)H在y軸上時(shí),圖2右側(cè)圖,同理可得:點(diǎn)P(,);
綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(,﹣5)或(,)
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【題目】如圖,矩形中,,,過(guò)對(duì)角線(xiàn)中點(diǎn)的直線(xiàn)分別交、于點(diǎn),.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形是菱形時(shí),求菱形的面積.
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①b<2a;②a+2c﹣b>0;③b>a>c;④b2+2ac<3ab.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,已知關(guān)于x的函數(shù)y=k(x﹣1)和y=(k≠0),它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店分兩次購(gòu)進(jìn)、兩種商品進(jìn)行銷(xiāo)售,兩次購(gòu)進(jìn)同一種商品的進(jìn)價(jià)相同,具體情況如下表所示:
購(gòu)進(jìn)數(shù)量(件) | 購(gòu)進(jìn)所需費(fèi)用 (元) | ||
A | B | ||
第一次 | 20 | 50 | 4100 |
第二次 | 30 | 40 | 3700 |
(1)求、兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)商場(chǎng)決定商品以每件50元出售,商品以每件元出售.為滿(mǎn)足市場(chǎng)需求,需購(gòu)進(jìn)、兩種商品共件,且商品的數(shù)量不少于商品數(shù)量的倍,請(qǐng)你求出獲利最大的進(jìn)貨方案,并確定最大利潤(rùn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2﹣4x+c的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)A(﹣4,0).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P,滿(mǎn)足S△AOP=8,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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【題目】如圖,正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O.將∠COB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0<α<90°),角的兩邊分別與BC,AB交于點(diǎn)M,N,連接DM,CN,MN,下列四個(gè)結(jié)論:①∠CDM=∠COM;②CN⊥DM;③△CNB≌△DMC;④AN2+CM2=MN2;其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線(xiàn)y=ax2+bx+8與x軸相交于點(diǎn)A(﹣2,0)和點(diǎn)B(4,0),與y軸相交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)P.點(diǎn)D(0,4)在OC上,聯(lián)結(jié)BC、BD.
(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式并直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn),如果△COE與△BCD的面積相等,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上,如果△BCD∽△CPQ,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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