【題目】如圖,已知一條直線過(guò)點(diǎn)(0,4),且與拋物線y= x2交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是﹣2.
(1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)過(guò)線段AB上一點(diǎn)P,作PM∥x軸,交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)M在第一象限,點(diǎn)N(0,1),當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí),MN+3MP的長(zhǎng)度最大?最大值是多少?
【答案】
(1)解:∵點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn),且橫坐標(biāo)為﹣2,
∴y= ×(﹣2)2=1,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,1),
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,
將(0,4),(﹣2,1)代入得 ,
解得 ,
∴直線y= x+4,
∵直線與拋物線相交,
∴ x+4= x2,
解得:x=﹣2或x=8,
當(dāng)x=8時(shí),y=16,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,16)
(2)如圖1,連接AC,BC,
∵由A(﹣2,1),B(8,16)可求得AB2=325.
設(shè)點(diǎn)C(m,0),同理可得AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5,
BC2=(m﹣8)2+162=m2﹣16m+320,
①若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2﹣16m+320,
解得:m=﹣ ;
②若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2﹣16m+320,
解得:m=0或m=6;
③若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2,即m2+4m+5=m2﹣16m+320+325,
解得:m=32;
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣ ,0),(0,0),(6,0),(32,0)
(3)解:設(shè)M(a, a2),如圖2,設(shè)MP與y軸交于點(diǎn)Q,
在Rt△MQN中,由勾股定理得MN= = a2+1,
又∵點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同,
∴ +4= a2,
∴x= ,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為 ,
∴MP=a﹣ ,
∴MN+3PM= +1+3(a﹣ )=﹣ a2+3a+9,
∴當(dāng)a=﹣ =6,
又∵2≤6≤8,
∴取到最大值18,
∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時(shí),MN+3PM的長(zhǎng)度的最大值是18.
【解析】(1)由拋物線的解析式可求得點(diǎn)A的縱坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式,將直線和拋物線的解析式聯(lián)立可求得交點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)B作BG∥x軸,過(guò)點(diǎn)A作AG∥y軸,交點(diǎn)為G,然后分若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2;若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2;若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2三種情況求得m的值,從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)設(shè)M(a,a2),MP與y軸交于點(diǎn)Q,在Rt△MQN中依據(jù)勾股定理可求得MN的長(zhǎng)(用含a的式子表示),然后根據(jù)點(diǎn)P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同得到x=,從而得到MN+3PM關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系是,最后,依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得到MN+3PM的長(zhǎng)度的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】輪船沿江從A港順流行駛到B港,比從B港返回A港少用3小時(shí),若船速為26千米/時(shí),水速為2千米/時(shí),求A港和B港相距多少千米.設(shè)A港和B港相距x千米.根據(jù)題意,可列出的方程是:( )
A.B.
C.D.
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【題目】如果點(diǎn)P(2x+6,x-4)在平面直角坐標(biāo)系的第四象限內(nèi),那么x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為
A. B. C. D.
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【題目】閱讀以下材料:對(duì)于三個(gè)數(shù)a,b,c,用M{a,b,c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù),用min{a,b,c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù).例如:M{﹣1,2,3}==;min{﹣1,2,3}=﹣1;min{﹣1,2,a}=
解決下列問(wèn)題:
(1)若min{2,2x+2,4﹣2x}=2,則x的范圍__________;
(2)①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x;
②根據(jù)①,你發(fā)現(xiàn)了結(jié)論“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么__________(填a,b,c的大小關(guān)系)”.
③運(yùn)用②的結(jié)論,若M{2x+y+2,x+2y,2x﹣y}=min{2x+y+2,x+2y,2x﹣y},求x+y的值.
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【題目】如圖,線段AB上有一任意點(diǎn)C,點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn),當(dāng)AB=6cm時(shí),
(1)求線段MN的長(zhǎng).
(2)當(dāng)C在AB延長(zhǎng)線上時(shí),其他條件不變,求線段MN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y1=kx+b和反比例函數(shù)y2= 的圖象交于A、B兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)y1=kx+b和反比例函數(shù)y2= 的解析式;
(2)觀察圖象寫(xiě)出y1<y2時(shí),x的取值范圍為;
(3)求△OAB的面積.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=10,∠C=30°點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0),過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DE、EF.
(1)DF= ;(用含t的代數(shù)式表示)
(2)求證:△AED≌△FDE;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF是等邊三角形?說(shuō)明理由;
(4)當(dāng)t為何值時(shí),△DEF為直角三角形?(請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值.)
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【題目】如圖1,直線與直線交于點(diǎn),.小明將一個(gè)含的直角三角板如圖1所示放置,使頂點(diǎn)落在直線上,過(guò)點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn)(點(diǎn)在左側(cè)).
(1)若,,則__________.
(2)若的角平分線交直線于點(diǎn),如圖2.
①當(dāng),時(shí),求證:.
②小明將三角板保持并向左平移,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,__________.(用表示).
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