Question

【題目】 （2016湖北隨州第23題）九年級(jí)（3）班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查整理出某種商品在第x天（1≤x≤90，且x為整數(shù)）的售價(jià)與銷售量的相關(guān)信息如下．已知商品的進(jìn)價(jià)為30元/件，設(shè)該商品的售價(jià)為y（單位：元/件），每天的銷售量為p（單位：件），每天的銷售利潤(rùn)為w（單位：元）．

時(shí)間x（天）	1	30	60	90
每天銷售量p（件）	198	140	80	20

（1）求出w與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問(wèn)銷售該商品第幾天時(shí)，當(dāng)天的銷售利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)；

（3）該商品在銷售過(guò)程中，共有多少天每天的銷售利潤(rùn)不低于5600元？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）銷售第45天時(shí)，當(dāng)天獲得的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元；（3）該商品在銷售過(guò)程中，共有24天每天的銷售利潤(rùn)不低于5600元．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)0≤x≤50時(shí)，設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，由點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖形可得出當(dāng)50＜x≤90時(shí)，y=90．再結(jié)合給定表格，設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n，套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)銷售利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問(wèn)題．當(dāng)0≤x≤50時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值；當(dāng)50＜x≤90時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi)w的最大值，兩個(gè)最大值作比較即可得出結(jié)論；（3）令w≥5600，可得出關(guān)于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）當(dāng)0≤x≤50時(shí)，設(shè)商品的售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k、b為常數(shù)且k≠0），

∵y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，40）、（50，90），

∴，解得：，

∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=x+40；

當(dāng)50＜x≤90時(shí)，y=90．

∴售價(jià)y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為y=．

由書(shū)記可知每天的銷售量p與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系，

設(shè)每天的銷售量p與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為p=mx+n（m、n為常數(shù)，且m≠0），

∵p=mx+n過(guò)點(diǎn)（60，80）、（30，140），

∴，解得：，

∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x為整數(shù)），

當(dāng)0≤x≤50時(shí)，w=（y﹣30）p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；

當(dāng)50＜x≤90時(shí)，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

綜上所示，每天的銷售利潤(rùn)w與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式是w=．

（2）當(dāng)0≤x≤50時(shí)，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∵a=﹣2＜0且0≤x≤50，

∴當(dāng)x=45時(shí)，w取最大值，最大值為6050元．

當(dāng)50＜x≤90時(shí)，w=﹣120x+12000，

∵k=﹣120＜0，w隨x增大而減小，

∴當(dāng)x=50時(shí)，w取最大值，最大值為6000元．

∵6050＞6000，

∴當(dāng)x=45時(shí)，w最大，最大值為6050元．

即銷售第45天時(shí)，當(dāng)天獲得的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6050元．

（3）當(dāng)0≤x≤50時(shí)，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，

解得：30≤x≤50，

50﹣30+1=21（天）；

當(dāng)50＜x≤90時(shí)，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，

解得：50＜x≤53，

∵x為整數(shù)，

∴50＜x≤53，

53﹣50=3（天）．

綜上可知：21+3=24（天），

故該商品在銷售過(guò)程中，共有24天每天的銷售利潤(rùn)不低于5600元．