【題目】如圖,二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn),并經(jīng)過(guò)B點(diǎn),已知A點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0),B點(diǎn)坐標(biāo)是(8,6).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)C,使得△CBD的周長(zhǎng)最小?若C點(diǎn)存在,求出C點(diǎn)的坐標(biāo);若C點(diǎn)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)解:把A(2,0),B(8,6)代入y= x2+bx+c,得
,
解得: ,
∴二次函數(shù)的解析式為y= x2﹣4x+6
(2)解:由y= x2﹣4x+6= (x﹣4)2﹣2,得
二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,﹣2).
令y=0,得 x2﹣4x+6=0,
解得:x1=2,x2=6,
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,0)
(3)解:二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)C,使得△CBD的周長(zhǎng)最小.
連接CA,如圖,
∵點(diǎn)C在二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=4上,
∴xC=4,CA=CD,
∴△CBD的周長(zhǎng)=CD+CB+BD=CA+CB+BD,
根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”,可得
當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí),CA+CB最小,
此時(shí),由于BD是定值,因此△CBD的周長(zhǎng)最。
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n,
把A(2,0)、B(8,6)代入y=mx+n,得
,
解得: ,
∴直線AB的解析式為y=x﹣2.
當(dāng)x=4時(shí),y=4﹣2=2,
∴當(dāng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,2)時(shí),△CBD的周長(zhǎng)最。
【解析】(1)只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式;(2)只需運(yùn)用配方法就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),只需令y=0就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)連接CA,由于BD是定值,使得△CBD的周長(zhǎng)最小,只需CD+CB最小,根據(jù)拋物線是軸對(duì)稱圖形可得CA=CD,只需CA+CB最小,根據(jù)“兩點(diǎn)之間,線段最短”可得:當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí),CA+CB最小,只需用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式,就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法;增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一點(diǎn),E在BC的延長(zhǎng)線上,且CE=CD,試猜想BD和AE的關(guān)系,并說(shuō)明你猜想的正確性.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在△ABC和△EDC中,AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°,AB與CE交于F,ED與AB,BC,分別交于M,H.
(1)求證:CF=CH;
(2)如圖2,△ABC不動(dòng),將△EDC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到∠BCE=45°時(shí),試判斷四邊形ACDM是什么四邊形?并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,一個(gè)農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍,豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的房墻,另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成,為了方便進(jìn)出,在垂直于房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門(mén).
(1)所圍成矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別是多少時(shí),豬舍面積為80m2?
(2)為做好豬舍的衛(wèi)生防疫,現(xiàn)需要對(duì)圍成的矩形進(jìn)行硬底化,若以房墻的長(zhǎng)為矩形豬舍一邊的長(zhǎng),且已知硬底化的造價(jià)為60元/平方米,請(qǐng)你幫助農(nóng)戶計(jì)算矩形豬舍硬底化需要的費(fèi)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2 x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,化簡(jiǎn): .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義運(yùn)算:ab=a(1﹣b).若a,b是方程x2﹣x+ m=0(m<0)的兩根,則bb﹣aa的值為( )
A.0
B.1
C.2
D.與m有關(guān)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在方格紙中,隨機(jī)選擇標(biāo)有序號(hào)①②③④⑤中的一個(gè)小正方形涂黑,與圖中陰影部分構(gòu)成軸對(duì)稱圖形的概率是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商店購(gòu)買60件A商品和30件B商品共用了1080元,購(gòu)買50件A商品和20件B商品共用了880元
(1)A商品的單價(jià)是元,B商品的單價(jià)是元
(2)已知該商店購(gòu)買B商品的件數(shù)比購(gòu)買A商品的件數(shù)的2倍少4件,設(shè)購(gòu)買A商品的件數(shù)為x件,該商店購(gòu)買的A、B兩種商品的總費(fèi)用為y元 ①求y與x的函數(shù)關(guān)系式
②如果需要購(gòu)買A、B兩種商品的總件數(shù)不少于32件,且該商店購(gòu)買的A、B兩種商品的總費(fèi)用不超過(guò)296元,求購(gòu)買B商品最多有多少件?
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