【題目】
(1)問題發(fā)現(xiàn) 如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A,D,E在同一直線上,連接BE.
填空:
①∠AEB的度數(shù)為;
②線段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系為
(2)拓展探究 如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點A,D,E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE,請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)解決問題 如圖3,在正方形ABCD中,CD= ,若點P滿足PD=1,且∠BPD=90°,請直接寫出點A到BP的距離.

【答案】
(1)60°;AD=BE
(2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM.

理由:如圖2,

∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,

∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°.

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS).

∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.

∵△DCE為等腰直角三角形,

∴∠CDE=∠CED=45°.

∵點A,D,E在同一直線上,

∴∠ADC=135°.

∴∠BEC=135°.

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°.

∵CD=CE,CM⊥DE,

∴DM=ME.

∵∠DCE=90°,

∴DM=ME=CM.

∴AE=AD+DE=BE+2CM.


(3)解:點A到BP的距離為

理由如下:

∵PD=1,

∴點P在以點D為圓心,1為半徑的圓上.

∵∠BPD=90°,

∴點P在以BD為直徑的圓上.

∴點P是這兩圓的交點.

①當(dāng)點P在如圖3①所示位置時,

連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,

過點A作AE⊥AP,交BP于點E,如圖3①.

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ADB=45°.AB=AD=DC=BC= ,∠BAD=90°.

∴BD=2.

∵DP=1,

∴BP=

∵∠BPD=∠BAD=90°,

∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上,

∴∠APB=∠ADB=45°.

∴△PAE是等腰直角三角形.

又∵△BAD是等腰直角三角形,點B、E、P共線,AH⊥BP,

∴由(2)中的結(jié)論可得:BP=2AH+PD.

=2AH+1.

∴AH=

②當(dāng)點P在如圖3②所示位置時,

連接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足為H,

過點A作AE⊥AP,交PB的延長線于點E,如圖3②.

同理可得:BP=2AH﹣PD.

=2AH﹣1.

∴AH=

綜上所述:點A到BP的距離為


【解析】解:(1)①如圖1, ∵△ACB和△DCE均為等邊三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°.
∴∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,

∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴∠ADC=∠BEC.
∵△DCE為等邊三角形,
∴∠CDE=∠CED=60°.
∵點A,D,E在同一直線上,
∴∠ADC=120°.
∴∠BEC=120°.
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°.
所以答案是:60°.
②∵△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
所以答案是:AD=BE.

【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角);等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能正確解答此題.

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解:∵∠1+∠2=180°(已知)

∠2=∠AHB   

   (等量代換)

DEBF   

∴∠D=∠      

∵∠   =∠B(等量代換)

ABCD   

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進(jìn)價(元/件)

20

30

售價(元/件)

29

40

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