Question

【題目】如圖，△ 內接于⊙O，過點B作⊙O的切線DE，F(xiàn)為射線BD上一點，連接CF

（1）求證： ；
（2）若⊙O 的直徑為5， ， ，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

如圖：連接BO并延長交⊙O于點M，連接MC．

∴∠A=∠M，∠MCB=90°．

∴∠M+∠MBC=90°．

∵DE是⊙O的切線，

∴∠CBE+∠MBC=90°．

∴ ．

∴ ．

（2）解：過點 作 于點 ．

∴ ．

由（1）得， ．

∴ ．

在Rt△ 中,

∵ ，

∴ ．

在Rt△ 中，

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

在Rt△ 中，

∵ ，

∴ ．

【解析】（1）根據(jù)圓周角定理和直徑的性質，得到∠M+∠MBC=90°，再由DE是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質，得到∠CBE=∠A；（2）由（1）得，∠M=∠CBE=∠A ，由tanA=2，根據(jù)三角函數(shù)得到tanM=tan∠CBE= tanA，根據(jù)勾股定理求出BC的值，求出CF的值.
【考點精析】本題主要考查了切線的性質定理和同角三角函數(shù)的關系（倒數(shù)、平方和商）的相關知識點，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；各銳角三角函數(shù)之間的關系：平方關系（sin2A+cos2A=1）；倒數(shù)關系（tanAtan(90°—A)=1）；弦切關系（tanA=sinA/cosA ）才能正確解答此題．