【題目】在平面直角坐標(biāo)中,ABC三個頂點坐標(biāo)為A(,0)、B(,0)、C(0,3).

(1)求ABC內(nèi)切圓D的半徑.

(2)過點E(0,1)的直線與D相切于點F(點F在第一象限),求直線EF的解析式.

(3)以(2)為條件,P為直線EF上一點,以P為圓心,以2為半徑作P.若P上存在一點到ABC三個頂點的距離相等,求此時圓心P的坐標(biāo).

【答案】(1)1;(2)y=x1;(3)若P上存在一點到ABC三個頂點的距離相等,此時圓心P的坐標(biāo)為(2,5)或(4).

【解析】

試題分析:(1)由A、B、C三點坐標(biāo)可知CBO=60°,又因為點D是ABC的內(nèi)心,所以BD平分CBO,然后利用銳角三角函數(shù)即可求出OD的長度;

(2)根據(jù)題意可知,DF為半徑,且DFE=90°,過點F作FGy軸于點G,求得FG和OG的長度,即可求出點F的坐標(biāo),然后將E和F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中,即可求出直線EF的解析式;(3)P上存在一點到ABC三個頂點的距離相等,該點是ABC的外接圓圓心,即為點D,所以DP=2,又因為點P在直線EF上,所以這樣的點P共有2個,且由勾股定理可知PF=3

試題解析:(1)連接BD,

B(,0),C(0,3),

OB=,OC=3,

tanCBO==,

∴∠CBO=60°

點D是ABC的內(nèi)心,

BD平分CBO,

∴∠DBO=30°,

tanDBO=

OD=1,

∴△ABC內(nèi)切圓D的半徑為1;

(2)連接DF,

過點F作FGy軸于點G,

E(0,1)

OE=1,DE=2,

直線EF與D相切,

∴∠DFE=90°,DF=1,

sinDEF=,

∴∠DEF=30°

∴∠GDF=60°,

在RtDGF中,

DFG=30°,

DG=

由勾股定理可求得:GF=,

F(),

設(shè)直線EF的解析式為:y=kx+b,

直線EF的解析式為:y=x1;

(3)∵⊙P上存在一點到ABC三個頂點的距離相等,

該點必為ABC外接圓的圓心,

由(1)可知:ABC是等邊三角形,

∴△ABC外接圓的圓心為點D

DP=2,

設(shè)直線EF與x軸交于點H,

令y=0代入y=x1,

x=,

H(,0),

FH=,

當(dāng)P在x軸上方時,

過點P1作P1Mx軸于M,

由勾股定理可求得:P1F=3

P1H=P1F+FH=,

∵∠DEF=HP1M=30°

HM=P1H=,P1M=5,

OM=2,

P1(2,5),

當(dāng)P在x軸下方時,

過點P2作P2Nx軸于點N,

由勾股定理可求得:P2F=3

P2H=P2FFH=

∴∠DEF=30°

∴∠OHE=60°

sinOHE=,

P2N=4,

令y=4代入y=x1,

x=,

P24),

綜上所述,若P上存在一點到ABC三個頂點的距離相等,此時圓心P的坐標(biāo)為(2,5)或(,4).

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