精英家教網(wǎng)閱讀材料,解答問題:
命題:如圖,在銳角△ABC中,BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的外接圓半徑為R,則
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R.
證明:連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D,連接DB,則∠D=∠A.
因為CD是⊙O的直徑,所以∠DBC=90°,
在Rt△DBC中,sin∠D=
BC
DC
=
a
2R

所以sinA=
a
2R
,即
a
sinA
=2R,
同理:
b
sinB
=2R,
c
sinC
=2R,
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R,
請閱讀前面所給的命題和證明后,完成下面(1)(2)兩題:
(1)前面閱讀材料中省略了“
b
sinB
=2R,
c
sinC
=2R”的證明過程,請你把“
b
sinB
=2R”的證明過程補(bǔ)寫出來.
(2)直接運(yùn)用閱讀材料中命題的結(jié)論解題,已知銳角△ABC中,BC=
3
,CA=
2
,∠A=60°,求△ABC的外接圓半徑R及∠C.
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分析:(1)根據(jù)已知的證明過程,同樣可以分別把∠B和b;∠C和c構(gòu)造到直角三角形中,根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行證明;
(2)根據(jù)(1)中證明的結(jié)論
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R,代入計算.
解答:精英家教網(wǎng)(1)證明:連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)D,連接DB,則∠A=∠D;
∵CD是⊙O的直徑,
∴∠DBC=90°,
在Rt△DBC中,
sin∠D=
BC
DC
=
b
2R

∴sinB=
b
2R
,即
b
sinB
=2R;

(2)解:由命題結(jié)論知
BC
sinA
=
AC
sinB

3
sin60°
=
2
sinB
,
∴sinB=
2
2

∵BC>CA,
∴∠A>∠B,
∴∠B=45°,
∴∠C=75°.
3
sin60°
=2R,
得R=1.
點(diǎn)評:構(gòu)造直徑所對的圓周角,是圓中構(gòu)造直角三角形常用的一種方法.熟記這一結(jié)論:
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R,便于計算.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

24、閱讀材料,解答問題.
例.用圖象法解一元二次不等式:x2-2x-3>0.
解:設(shè)y=x2-2x-3,則y是x的二次函數(shù).∵a=1>0,∴拋物線開口向上.
又∵當(dāng)y=0時,x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3.∴由此得拋物線y=x2-2x-3的大致圖象如圖所示.觀察函數(shù)圖象可知:當(dāng)x<-1或x>3時,y>0.∴x2-2x-3>0的解集是:x<-1或x>3.
(1)觀察圖象,直接寫出一元二次不等式:x2-2x-3<0的解集是
-1<x<3
;
(2)仿照上例,用圖象法解一元二次不等式:x2-5x+6<0.(畫出大致圖象).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

25、閱讀材料并解答問題:
我們已經(jīng)知道,完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示,實(shí)際上還有一些代數(shù)等式也可以用這種形式表示.例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就可以用圖①或圖②等圖形的面積來表示

(1)請寫出圖③所表示的等式:
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2

(2)如圖所示的長方形或正方形三類卡片各有若干張,請你用這些卡片,拼成一個長方形或正方形圖形.要求:所拼圖形中每類卡片都要有,卡片之間不能重疊,畫出示意圖,并寫出你發(fā)現(xiàn)的等式.(請仿照上圖在幾何圖形上標(biāo)出有關(guān)數(shù)量).

你發(fā)現(xiàn)的等式是
(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

27、閱讀材料并解答問題:

如圖①,將6個小長方形(或正方形)既無空隙,又不重疊地拼成一個大的長方形,根據(jù)圖示尺寸,它的面積既可以表示為(2a+b)(a+b),又可以表示為2a2+3ab+b2,因此,我們可以得到一個等式:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
(1)請寫出圖②所表示的等式:
(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2

(2)試畫出一個幾何圖形,使它的面積能表示:(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2(請仿照圖①或圖②在幾何圖形上標(biāo)出有關(guān)數(shù)量).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀材料,解答問題:為解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我們可以將x2-1視為一個整體,然后設(shè)x2-1=y原方程可化為y2-5y+4=0,解此方程得y1=1,y2=4.當(dāng)y=1時,x2-1=1,∴x=±
2
;當(dāng)y=4時,x2-1=4,∴x=±
5
,∴原方程的解為x1=
2
,x2=-
2
,x3=
5
,x4=-
5

(1)填空:在原方程得到方程y2-5y+4=0的過程中,利用了
換元
換元
法達(dá)到了降次的目的,體現(xiàn)了
轉(zhuǎn)化
轉(zhuǎn)化
的數(shù)學(xué)思想
(2)解方程:(x2-x)2-8(x2-x)+12=0.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

閱讀材料,解答問題:
在數(shù)學(xué)課上,李老師和同學(xué)們一起探討角平分線的作法時,李老師用直尺和圓規(guī)作角的平分線,作法如下:
①如圖1,在OA和OB上分別截取OD、OE,使OD=OE;
②分別以D、E為圓心,以大于
12
DE
的長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)C;
③作射線OC,則OC就是∠AOB的平分線.

小聰只帶了直角三角板,他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線,作法如下:
①如圖2,利用三角板上的刻度,在OA和OB上
分別畫點(diǎn)M、N,使OM=ON;
②分別過點(diǎn)M、N作OM、ON的垂線,交于點(diǎn)P;
③作射線OP,則OP就是∠AOB的平分線.
小穎的身邊只有刻度尺,經(jīng)過嘗試,她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線.
請你按要求完成下列問題:
(1)李老師用尺規(guī)作角平分線時,用到的三角形全等的方法是
“SSS”
“SSS”

(2)小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎?請說明理由.
(3)請你幫小穎設(shè)計用刻度尺作角平分線的方法(要求:畫出圖形,并簡述過程和理由)

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同步練習(xí)冊答案