Question

如圖（1），在等邊△ABC的頂點(diǎn)B、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)分別以每分鐘1各單位的速度油B向C和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)s時(shí)，另一只也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D，P處，請(qǐng)問：

（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等嗎？為什么？

（2）問蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小有無(wú)變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

（3）若蝸牛沿著BC和CA的延長(zhǎng)線爬行，BD與AP交于點(diǎn)Q，其他條件不變，如圖（2）所示，蝸牛爬行過程中的∠DQA大小變化了嗎？若無(wú)變化，請(qǐng)證明．若有變化，請(qǐng)直接寫出∠DQA的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）在爬行過程中，BD和AP始終相等，

理由是：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°，AB=BC，

在△BDC和△APB中，

，

∴△BDC≌△APB（SAS），

∴BD=AP．

（2）蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小無(wú)變化，

理由：∵△BDC≌△APB，

∴∠CBD=∠BAP，

∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°，

即蝸牛在爬行過程中BD與AP所成的∠DQA大小無(wú)變化，始終是60°．

（3）蝸牛爬行過程中的∠DQA大小無(wú)變化，

理由是：根據(jù)題意得：BP=CD，

∵BC=AC，

∴CP=AD，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB，∠CAB=∠ACB=60°，

∵∠ACP+∠ACB=180°，∠DAB+∠CAB=180°，

∴∠ACP=∠BAD，

在△ABD和△ACP中，

，

∴△ABD≌△ACP（SAS），

∴∠CAP=∠ABD，

∴∠AQD=∠ABD+∠BAQ=∠CAP+∠QAB

=180°﹣∠CAB

=180°﹣60°

=120°，

即蝸牛爬行過程中的∠DQA無(wú)變化，等于120°．