Question

【題目】如圖，在 Rt△POQ中，OP=OQ=4，M 是 PQ中點，把一個三角尺頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與 Rt△POQ的兩直角邊分別交于點A、B．

（1）求證：MA=MB；

（2）探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，四邊形AOBM的面積是否發(fā)生變化？為什么？

（3）連接 AB，探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值？若存在，求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）四邊形 AOBM 的面積沒有發(fā)生變化， 理由見解析；（3）當(dāng) x=2 時，△AOB 的周長有最小值，最小值為=4+2．

【解析】

（1）過點 M 作 ME⊥OP 于點 E，作 MF⊥OQ 于點 F，根據(jù)正方形的判定定理得到四邊形 OEMF 是正方形，證明△AME≌△BMF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到四邊形 AOBM 的面積=正方形 EOFM 的面積；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到得到 AE=BF，設(shè) OA=x，根據(jù)勾股定理得到AB=，根據(jù)三角形的周長公式，二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

（1）過點 M 作 ME⊥OP 于點 E，作 MF⊥OQ 于點 F，

∵∠O=90°，∠MEO=90°，∠OFM=90°，

∴四邊形 OEMF 是矩形，

∵M 是 PQ 的中點，OP=OQ=4，

∴ME=OQ=2，MF=OP=2，

∴ME=MF，

∴四邊形 OEMF 是正方形，

∵∠AME+∠AMF=90°，∠BMF+∠AMF=90°，

∴∠AME=∠BMF，

在△AME 和△BMF 中，

∴△AME≌△BMF（ASA），

∴MA=MB；

（2）四邊形 AOBM 的面積沒有發(fā)生變化， 理由如下：∵△AME≌△BMF，

∴四邊形 AOBM 的面積=正方形 EOFM 的面積=4；

（3）∵△AME≌△BMF，

∴AE=BF，

設(shè) OA=x，則 AE=2﹣x，

∴OB=OF+BF=2+（2﹣x）=4﹣x，

在 Rt△AME 中，AM== ，

∵∠AMB=90°，MA=MB，

∴AB=AM= ，

△AOB 的周長=OA+OB+AB

=x+（4﹣x）+

=4+，

則當(dāng) x=2 時，△AOB 的周長有最小值，最小值為=4+2．