Question

（2012•阜寧縣三模）某工廠計(jì)劃為學(xué)校生產(chǎn)A，B兩種型號(hào)的學(xué)生桌椅500套，以解決1254名學(xué)生的學(xué)習(xí)問(wèn)題，一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，工廠現(xiàn)有庫(kù)存木料302m³．
（1）有多少種生產(chǎn)方案？
（2）現(xiàn)要把生產(chǎn)的全部桌椅運(yùn)往學(xué)校銷售，已知每套A型桌椅售價(jià)150元，生產(chǎn)成本100元，運(yùn)費(fèi)2元；每套B型桌椅售價(jià)200元，生產(chǎn)成本120元，運(yùn)費(fèi)4元，求總利潤(rùn)y（元）與生產(chǎn)A型桌椅x（套）之間的關(guān)系式，并確定總利潤(rùn)最少的方案和最少的總利潤(rùn)．（利潤(rùn)=售價(jià)-生產(chǎn)成本-運(yùn)費(fèi)）
（3）按（2）的方案計(jì)算，有沒(méi)有剩余木料？如果有，請(qǐng)直接寫出用剩余木料再生產(chǎn)以上兩種型號(hào)的桌椅，最多還可以為多少名學(xué)生提供桌椅；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)生產(chǎn)A型桌椅x套，則生產(chǎn)B型桌椅（500-x）套，由一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，表示出所需的木料數(shù)，根據(jù)所需的木料數(shù)小于等于302列出不等式，再由A型一桌兩椅，B型一桌三椅，計(jì)算出提供多少學(xué)生的桌椅，大于等于1254列出不等式，兩不等式聯(lián)立組成不等式組，求出不等式組的解集，得到x的范圍，由x為正整數(shù)，求出x的值，根據(jù)x的值有7個(gè)得到方案有7種；
（2）由利潤(rùn)=售價(jià)-生產(chǎn)成本-運(yùn)費(fèi)，分別表示出A型桌椅與B型桌椅每套的利潤(rùn)，由生產(chǎn)A型桌椅x套，則生產(chǎn)B型桌椅（500-x）套分別求出A和B的利潤(rùn)，相加表示出總利潤(rùn)y與x的一次函數(shù)關(guān)系式，由一次函數(shù)的比例系數(shù)小于0，得到此一次函數(shù)為減函數(shù)，將x的最大值代入求出對(duì)應(yīng)y的值，即為最少的利潤(rùn)；
（3）由總利潤(rùn)最少時(shí)x的值，得到A型桌椅的套數(shù)，進(jìn)而求出B型桌椅的套數(shù)，根據(jù)一套A型桌椅和一套B型桌椅所需的木料數(shù)，計(jì)算出用的木料數(shù)，用總木料數(shù)-用的木料數(shù)得到剩余的木料數(shù)，剩余的木料數(shù)可生產(chǎn)一套A型桌椅與一套B型桌椅，最多給5名學(xué)生提供桌椅．

解答：解：（1）設(shè)生產(chǎn)A型桌椅x套，則生產(chǎn)B型桌椅（500-x）套，
由題意列得：

0.5x+0.7(500-x)≤302 2x+3(500-x)≥1254

，
解得：240≤x≤246，
∵x為整數(shù)，∴x的值有7個(gè)，分別為：240，241，242，243，244，245，246，
則有7種生產(chǎn)方案；
（2）根據(jù)題意得：y=（150-100-2）x+（200-120-4）（500-x）=-28x+38000，
∵-28＜0，
∴一次函數(shù)y=-28x+38000為減函數(shù)，即y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=246時(shí)，y最小，此時(shí)y=-28×246+38000=31112元，
則當(dāng)生產(chǎn)A型桌椅246套，B型桌椅254套時(shí)，總利潤(rùn)y有最小值31112元；
（3）當(dāng)生產(chǎn)A型桌椅246套，B型桌椅254套時(shí)，用的木料為246×0.5+254×0.7=300.8m³，
可得剩余木料為302-300.8=1.2m³，
∵一套A型桌椅（一桌兩椅）需木料0.5m³，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m³，
則生產(chǎn)A型桌椅1套，B型桌椅1套時(shí)，最多為5名學(xué)生提供桌椅．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，以及一元一次不等式組的應(yīng)用，找出題中的等量關(guān)系及不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．